Phương trình hàm đa thức
|
anhbang_k42sp |
Gửi vào lúc 11-08-2009 07:09
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 19.06.09
|
hưởng ứng tháng pth em xin có 2 bài sau(mời các cao thủ):
1. Tìm tất cả P(x) số hệ số thực thỏa mãn:
2. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn P(0)=0 và:
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 11-08-2009 07:23
kiếm khách vô tình |
|
|
|
luan_dragon93 |
Gửi vào lúc 11-08-2009 09:10
|
Sơ cấp
Posts: 122
Joined: 11.05.09
|
bài hai
ta có P(0)=0 nên keo theo P(1)=1 và P(2)=2
nên dùng phép quy nạp thì P(x)=x
bài 1 chẳng thấy nó thỏa mãn !!!!!
mãi mãi và chỉ một |
|
|
|
ky cuong |
Gửi vào lúc 11-08-2009 09:55
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 01.06.09
|
Bạn Luan sử dụng pp quy nạp liệu có đầy đủ ? thử nêu rõ ra coi.
coi chừng chỉ đúng với x thuộc N
Vào cuộc chơi |
|
|
|
luan_dragon93 |
Gửi vào lúc 11-08-2009 10:45
|
Sơ cấp
Posts: 122
Joined: 11.05.09
|
đương nhiên là được chứ Kỷ Cương theo quy nạp thì P(x)=x với mọi x thuộc N
vậy nên P(x)-x=0 có vô số nghiệm
nên P(x)-x=0 có bậc là 0 hay P(x)=x với mọi số thực x
mãi mãi và chỉ một |
|
|
|
Prime |
Gửi vào lúc 11-08-2009 10:50
|
Cộng tác viên
Posts: 66
Joined: 13.05.08
|
Không phải với mọi x thuộc n ,chỉ cần xét dãy như sau : thế thì với mọi n ,mà dễ cm được x_n nhận vô hạn giá trị và đó là điều bạn luan chỉ ra .
Bài 1 là bài toán khá hay . Nếu đa thức đang xét là đa thức hằng thì bài toán có thể dễ dàng giải tiếp . Nếu đa thức này khác hằng thì nó nhận vô hạn giá trị trên R . Như vậy với vô hạn t ta có , từ đó đẳng thức xảy ra với mọi số thực t . Từ đó đồng nhất thức ta tìm được bậc và tìm ra đa thức .
|
|
|
|
luan_dragon93 |
Gửi vào lúc 11-08-2009 11:43
|
Sơ cấp
Posts: 122
Joined: 11.05.09
|
anh prime có thể nói rõ bài 1 hơn không
mãi mãi và chỉ một |
|
|
|
ky cuong |
Gửi vào lúc 11-08-2009 16:48
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 01.06.09
|
em ra kết quả bài 1 như sau :
@luan:mình chỉ hỏi cho chắc ăn.Bài 1 cũng giải như bạn như lại đi lòng vòng hơn.
Vào cuộc chơi |
|
|
|
Prime |
Gửi vào lúc 11-08-2009 18:24
|
Cộng tác viên
Posts: 66
Joined: 13.05.08
|
luan_dragon93 viết rằng:
anh prime có thể nói rõ bài 1 hơn không
Ý tưởng của lời giải của mình là nếu hai đa thức mà bằng nhau tại vô hạn điêm thì nó bằng nhau với mọi x . Từ giả thiết nếu đa thức khác đa thức hằng thì P(x) nhận vô hạn giá trị trên R ,lấy t bất kì trong đó thì ta có :
. Đẳng thức xảy ra với vô hạn t nên nó đúng với mọi t thuộc R .
Giả sử bậc của đa thức là n . Đồng nhất hệ số đầu tiên ta phải có . Từ đó suy ra deg P=2 . Đồng nhất hệ số lần nữa thì ra kết quả như bài trên chỉ ra . |
|
|
|
ky cuong |
Gửi vào lúc 11-08-2009 18:40
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 01.06.09
|
Cái ý tưởng của anh Prime có phải là định lý nào ko ạ để em còn áp dụng? Thấy nó hiển nhiên nhưng vẫn phải nghi ngờ.
Vào cuộc chơi |
|
|
|
anhbang_k42sp |
Gửi vào lúc 11-08-2009 20:00
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 19.06.09
|
Thêm 1 vài bài nữa nè
Bài 1 :
Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :
với a, b , c
Bài 2 :
Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện :
Bài 3 :
Tìm tất cả các đa thức P(x) khác 0 , hệ số là các số thực không âm cố bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2007 và thỏa mãn điều kiện sau :
Sửa bởi anhbang_k42sp vào lúc 11-08-2009 20:06
kiếm khách vô tình |
|
|
|
Prime |
Gửi vào lúc 12-08-2009 04:24
|
Cộng tác viên
Posts: 66
Joined: 13.05.08
|
ky cuong viết rằng:
Cái ý tưởng của anh Prime có phải là định lý nào ko ạ để em còn áp dụng? Thấy nó hiển nhiên nhưng vẫn phải nghi ngờ.
CM cái tính chất đó ko khó lắm .Giả sử hai đa thức f và g bằng nhau tại vô hạn điểm .Xét đa thức f-g ,đa thức này nếu khác đa thức 0 thì chỉ có hữu hạn nghiệm ,trái với sự kiện là f và g bằng nhau tại vô hạn điểm . Từ đó f-g là đa thức 0 hay f=g . |
|
|
|
luan_dragon93 |
Gửi vào lúc 12-08-2009 05:13
|
Sơ cấp
Posts: 122
Joined: 11.05.09
|
Bài 3 của anhbang_k42sp em thấy không ổn
vế phải là bình phương tổng các hệ số
vế trái dùng cauchy-swhas thì nó lớn hơn hoặc bằng bình phương các hệ số
mà theo giả thiết đề bài thì vế phải lớn hơn vế trái nên không có đa thức nào (trừ đa thức hằng)????
mãi mãi và chỉ một |
|
|
|
anhbang_k42sp |
Gửi vào lúc 12-08-2009 11:09
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 19.06.09
|
luan_dragon93 viết rằng:
Bài 3 của anhbang_k42sp em thấy không ổn
vế phải là bình phương tổng các hệ số
vế trái dùng cauchy-swhas thì nó lớn hơn hoặc bằng bình phương các hệ số
mà theo giả thiết đề bài thì vế phải lớn hơn vế trái nên không có đa thức nào (trừ đa thức hằng)????
đúng thế đấy bạn ạ.dùng bunhia là ra luôn kết quả.bài toán vẫn có thể vô nghiệm mà bạn(vì bậc >2007).thế còn 2 bài đầu thì sao bạn?
kiếm khách vô tình |
|
|
|
ll931110 |
Gửi vào lúc 12-08-2009 11:24
|
Mới tham gia
Posts: 16
Joined: 16.07.08
|
Bài 1 bạn có thể xem ở đây:
http://www.mathli...p?t=283708
(Chưa thực sự hoàn chỉnh cho lắm) |
|
|
|
ll931110 |
Gửi vào lúc 12-08-2009 11:43
|
Mới tham gia
Posts: 16
Joined: 16.07.08
|
anhbang_k42sp viết rằng:
Thêm 1 vài bài nữa nè
Bài 2 :
Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện :
Nếu là hằng số, ta có
Nếu không, đặt
So sánh hệ số cao nhất ta có
Đặt , khi đó
Thay vào pt ban đầu và rút gọn ta được
(*)
Trong (*), vế trái là đa thức có bâc , vế phải là đa thức có bậc . Vì nên (*) đúng với mọi x khi và chỉ khi , hay . Thử lại đúng |
|
|
|
anhbang_k42sp |
Gửi vào lúc 13-08-2009 04:41
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 19.06.09
|
lời giải của anh ll931110 hay lắm nhưng,mà bài 2 cách tìm ra đa thức (x-1)^n có vẻ hơi thiếu tự nhiên(trong phòng thi chắc không nghĩ ra nổi).thầy em bảo có cách dùng số phức là tự nhiên nhất,anh giúp em với
kiếm khách vô tình |
|
|
|
Prime |
Gửi vào lúc 13-08-2009 13:53
|
Cộng tác viên
Posts: 66
Joined: 13.05.08
|
anhbang_k42sp viết rằng:
lời giải của anh ll931110 hay lắm nhưng,mà bài 2 cách tìm ra đa thức (x-1)^n có vẻ hơi thiếu tự nhiên(trong phòng thi chắc không nghĩ ra nổi).thầy em bảo có cách dùng số phức là tự nhiên nhất,anh giúp em với
Bài viết này sẽ trả lời cho câu hỏi này của bạn là tại sao nghĩ ra một đa thức như thế ...
Prime đính kèm tệp sao:
function.rar
Sửa bởi Prime vào lúc 13-08-2009 13:55 |
|
|
|
ll931110 |
Gửi vào lúc 14-08-2009 16:53
|
Mới tham gia
Posts: 16
Joined: 16.07.08
|
Bài của anh Prime rất hay! Bây giờ em mới biết tại sao có thể đặt như cách trong lời giải của em hôm nọ. Nhờ anh thêm 1 chút, anh có thể chuyển bài viết sang PDF được không? (Như thế thì mọi người cũng dễ theo dõi hơn)
@anhbang: mình cùng tuổi với bạn mà. Mà bạn chỉnh lại mấy bài vừa post đi, đang bị lỗi kìa.
Sửa bởi ll931110 vào lúc 14-08-2009 16:54 |
|
|
|
anhbang_k42sp |
Gửi vào lúc 14-08-2009 16:54
|
Mới tham gia
Posts: 13
Joined: 19.06.09
|
bài viết hay quá,cảm ơn anh prime nhiều.tiếp một vài bài nữa cho anh em thảo luận:
bai1:tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn:
1.P(2)=12
2.P(x^2)=x^2(x^2+1)P(x) với mọi x thuộc R
bai2:tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên f thỏa mãn với mọi số nguyên tố p và với mọi số tự nhiên u,v mà p/uv-1(p là ước của uv-1) thì ta luôn có p/f(u)f(v)-1
bai3:tìm tất cả các đa thức P(x,y) sao cho với mọi số thực x,y ta có:P(x^2,y^2)=P((x+y)^2/2,(x-y)^2/2)
bai4:tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn:
P(P(x))+1=(P^2(x)+2P(x)+(x^2+3x+1)^2)^2
bai5:tìm tất cả các đa thức P(x,y) sao cho:
P(x,y)P(u,v)=P(xu+yv,xv+yu)với mọi x,y,u,v thuộc R
bài6:tìm P(x) thuộc R(x) sao cho:
P(x)+P(1)=(P(x+1)+P(x-1))/2 với mọi x thuộc R(bác nào tốt bụng chuyển sang latex hộ em với)
Sửa bởi anhbang_k42sp vào lúc 16-08-2009 13:36
kiếm khách vô tình |
|
|
|
ll931110 |
Gửi vào lúc 14-08-2009 17:01
|
Mới tham gia
Posts: 16
Joined: 16.07.08
|
Sẽ xử từng bài một (edit dần )
Bài 1:
Bạn xem lại đề bài có phải là
1/
2/ không?
Nếu đúng, đặt , so sánh bậc ta có . Mặt khác, , suy ra với (hơi tắt 1 chút, chắc đọc được)
do đó, 2/ trở thành
, và nếu dùng hệ số bất định thì cái này không thỏa mãn
Bài 5:
http://www.mathli...p?t=232728
Bài 6:
Đặt , đẳng thức trở thành
Đặt thì (1) tương đương với
, điều này xảy ra khi
Do vậy , và
Thử lại đúng
Sửa bởi ll931110 vào lúc 14-08-2009 17:32 |
|
|