October 20 2013 13:17:58
Các trang chính
· Trang Nhất
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Diễn đàn
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· Thư viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds
MathWorld
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học từ MathWorld bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới

Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



Thư viện Sách
· Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, Volume 2)
· Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1)
· Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis, Volu
· Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis
· Problems in Calculus of One Variable
· Théorie des probabilités : problèmes et solutions
· Exercices sur les fonctions analytiques
· Probabilité : Exercices corrigés
· Exercices d'algèbre
· Abel's Theorem in Problems and Solutions
· Stochastic Process: Problems and Solutions
· Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions
· Statistics: Problems and Solutions
· Student Solutions Manual to accompany Complex Variables and Applications
· Complex Variables and Applications
· Problems in Group Theory
· Complex Analysis through Examples and Exercises
· Exercises in Classical Ring Theory
· Exercises in Basic Ring Theory
· Algebra Through Practice: Rings, Fields and Modules - A Collection of Problems in Algebra with Solut
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
· Đề ra kì này Số 05-2001
· Đề ra kì này Số 04-2001
· Đề ra kì này Số 2-2007
· Đề ra kì này Số 3-2001
· Đề ra kì này Số 2-2001
· Đề ra kì này Số 1-2001
· Đề ra kì này Số 2-2008
· Đề ra kì này Số 1-2008
· Đề ra kì này Số 1-2007
· Đề ra kì này Số 6-2000

Trực tuyến
phamquangtoan00:26:01
quangphu02:35:31
tnkh20:53:03
vulalach23:50:37
hungkg 2 days
namnh211 2 days
conanhero 2 days
vietmath 3 days
adam2 3 days
henry0905 4 days
kmath93 5 days
thuanquai 6 days
Vnkvant 6 days
daogiauvang 1 week
dinhcu_pro 1 week
0917317099 2 weeks
lovemath213 2 weeks
nguyentatthu 2 weeks
pminhquy 3 weeks
kimlinh 3 weeks
nguoithanbi123 3 weeks
hunghd8 3 weeks
nhatquangsin 5 weeks
pvthuan 5 weeks
ninza loan thi 5 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 2

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,510
· Thành viên mới nhất: headache
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Chứng minh BĐT
· Nhờ download bài ...
· Tìm số nguyên d�...
· VMO 2004
· Đào tạo thi họ...
· Tìm số nguyên d�...
· Giải phương trì...
· Nhờ download bài ...
· Dịch sang TV bài ...
· Giải phương trình
· Một bổ đề qua...
· Tìm p,q
· Thử thách toán h...
· Một số định l...
· AMM Vol 02/ 1895
· USSR Mathematical Ol...
· Mathematical Olympia...
· Australian Mathemati...
· AMM Vol 01/ 1894
· Bí quyết làm ch�...
· Bí quyết để c�...
· Kinh nghiệm du h�...
· Chứng minh tồn t...
· Chứng minh tài ch...
· Đề thi IMO 2013
· Giải phương trì...
· Tìm nghiệm nguyê...
· Số 4-2000
· Một quỹ hỗ tr�...
· Đề số 03-2008
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download b�... [333]
· Nhờ download b�... [141]
· Problem Of The Mo... [85]
· Vài bài tập c... [85]
· Những định l... [80]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tuyển... [47]
· Thông tin và Th... [40]
· Tính giới hạn [38]
· Các bạn thi ol... [38]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Problem of Washin... [37]
· Problems of Purdu... [37]
· Olympic Sinh viê... [35]
· Ôn tập môn Gi... [34]
· PT vi phân [32]
· Thử thách toá... [31]
· Olympic SV Kiev [31]
· Ôn tập môn Đ... [31]
· Đóng góp cho c... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Mùa hè nóng qu... [28]
· Cập nhật Tạ... [28]
· Tuyển tập 40 ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Số Pi và nhữ... [26]
· Đăng ký tham g... [26]
· Bất đẳng thức [25]
· Phương pháp Mo... [25]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· College Mathemati... [24]
· Tìm nghiệm c�... [24]
· Một câu xác s... [24]
· Collected inequal... [23]
· Tích phân hay [23]
· Chuyển công th... [22]
· Kì Thi Olympic T... [22]
· Bài tập về k... [22]
· Mathematics Magazine [21]
· Olimpiad Toán Đ... [21]
· Phương trình h... [21]
· Phương trình h... [20]
· Tặng daogiauvan... [19]
· Tài khoản MAA ... [19]
· Phép biến đ�... [19]
· Journal Мате�... [19]
· Olympic Sinh viê... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
· Chú ý: THÁNG H... [19]
Xem chủ đề
Cộng Đồng Học sinh - Sinh viên yêu Toán Việt Nam » For Advanced Undergraduate and Graduate Students » Thảo luận
 In chủ đề
L.C.Evans - PDE
brahman
 Xin chào các đồng đạo,

Nhân dịp hè đến, được chút rảnh rỗi, brahman mạo muội dọn lên đây một số BT trong sách của L.C.Evan (PDE) mà chủ quan cho là thiết thực và nhẹ nhàng, nhằm để học tập và trao đổi kiến thức về PDE. Chủ trương của người post là cầu tiến và không dấu dốt. Hy vọng là mọi người tìm thấy cái thú và bổ sung thêm những BT khác thú hơn Grin

Chúng mình bắt đầu từ Chapter 2, trong đây u là hàm đủ trơn xác định trên tập con của \mathbb{R}^n. Trước mắt brahman chỉ dọn lên 3 bài này:

2/85: Prove that Laplace's equation \Delta u = 0 is rotation invariant; that is, if O is an orthogonal n \times n matrix and we define
 v (x) = u ( Ox )

then  \Delta v = 0.

5/86: Prove that there exists a constant C, depending only on n, such that
 \underset{B(0,1)}{\text{max}} |u| \le C \left( \underset{ \partial B(0,1)}{\text{max}} |g| + \underset{B(0,1)}{\text{max}} |f| \right)

whenever u is smooth solution of

 \begin{align} - \Delta u  =  f & \;\;\; \text{in  } B_0(0,1) \\ u = g & \;\;\; \text{on  } \partial B(0,1) \end{align}


7/86: Assume g \in C^{ \infty} ( \partial B(0,r)) and

 u (x) = \frac{ r^2  - |x|^2 }{ n \alpha (n) r} \int_{ \partial B(0,r)} \frac{ g(y)}{ | x - y| ^n } \text{d} S(y)  \;\; ( x \in B_0( 0,r))


then

\begin{align} i) & \;  u \in C^{\infty} ( B_0(0,r) ) \nonumber  \\ ii) & \; \Delta u = 0 \text{  in  }  B_0 (0,r) \nonumber \\ iii) & \;  \lim\limits_{ B_0(0,r)\ni x \to x_0 } u(x) = g(x_0) \;\; , \; \forall x_0 \in \partial B(0,r) \nonumber \end{align}


Đầu tiên chúng mình chỉ cm cho th n=2,3. À quên, cái ông Evan này chơi kì lắm nhá, tìm mãi trong ấy mà chả thấy đn \alpha(n), nó nè:

\alpha (n) = \begin{Bmatrix} \frac{ \pi ^{n/2}}{ (n/2) !} & \text{if} &   \text{n chan}\\ \frac{ 2 ( 2\pi ) ^{ ( n-1)/2}}{ 1 .3.5 \ldots n } & \text{if} &   \text{n le}\end{matrix}


à Vinh ơi, môi trường array trong này sao chán quá, không xài được.
Sửa bởi brahman vào lúc 02-07-2009 18:53
tat tvam asi
 
vualangbat
 chào anh brahman, rất vui vì anh lại trở lại cùng tham gia cho vui, vấn đề về cái dòng array thì chắc do cái trang codecogs nó có vấn đề.
Về ý tưởng giải cuốn bài tập của Evans và phân tích nó thì tuyệt vời, cuốn này thì thuộc top với nhiều bài tập hay, tuy nhiên như anh brahman chúng ta ai cũng mang tính giao lưu học hỏi, cùng đọc sách để hiểu và vận dụng, có người biết nhiều biết ít chia sẻ cho nhau không nên nghĩ lung tung đến các vấn đề khác. Hi vọng nhiều anh chị thầy cô sẽ cùng hưởng ứng

Mở đầu anh brahman đã ra ba bài khá thú vị, bản thân cũng chỉ mới học có tí chút về PDE nên không biết nhiều lắm nhưng góp vui vài nhận xét và lời giải

Câu 3. Bài này thì ta biết rồi nó là bài toán Dirichlet Problem on a Ball, cách chứng minh của bài này giống với định lí số 14(trang 38) của sách Evans, tuy nhiên cũng muốn nêu ra một số ý
với ý đầu thì ta thấy rõ rồi vì ta có thể đạo hàm được cái công thức tích phân đó thoải mái, để chứng minh ý hai ta chú ý
K(x,y) = \frac{{r^2  - \left| x \right|^2 }}{{n\alpha (n)r}}\frac{1}{{\left| {x - y} \right|^n }} là nhân Poisson.
\psi (x) = \int\limits_{\partial B} {K(x,y)dS_y } (thu được bằng cách thay vào công thức Poisson với g=1), ta có \psi (x) là radially symmetric function. Từ đây ta chú ý chút và thấy \psi (x) = \psi (0) = 1
Từ đó ta có
\Delta u(x) = \int\limits_{\partial B} {\Delta _x K(x,y)g(y)dS_y }  = 0
Ý còn lại xét x_0  \in \partial B\varepsilon  > 0. Chọn \delta  > 0 sao cho \left| {g(y) - g(x_0 )} \right| < \varepsilon với \left| {y - x_0 } \right| < \delta và ta gọi M = \mathop {\sup }\limits_{x \in \partial B} g
khi đó ta có
\left| {u(x) - g(x_0 )} \right| = \left| {\int\limits_{\partial B} {K(x,y)\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)dS_y } } \right|
 \le \int\limits_{\left| {y - x_0 } \right| \le \delta } {K(x,y)} \left| {\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)} \right|dS_y + \int\limits_{\left| {y - x_0 } \right| \ge \delta } {K(x,y)} \left| {\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)} \right|dS_y
\le \varepsilon  + \frac{{2M\left( {r^2  - \left| x \right|^2 } \right)r^{n - 2} }}{{\left( {\delta /2} \right)^n }}
Khi x \to x_0 thì \frac{{2M\left( {r^2  - \left| x \right|^2 } \right)r^{n - 2} }}{{\left( {\delta /2} \right)^n }} \to 0 nên ta có c.minh

Câu 1. Bài này là một tính chất hay
Ta có giả sử
O = \left[ {O_{ij} } \right]_{n \times n}
D_i v(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {D_k u(Ox)O_{ki} }
D_{ij} v(x) = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)O_{ki} O_{lj} } }

Do O là orthogonal nên \ O O^T  = I(ma trận đơn vị)
Từ đó ta có
\Delta v(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)O_{ki} O_{li} } } }  = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {O_{ki} O_{li} } } \right)} }
= \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)\delta _{kl} } }  = \Delta u\left( {Ox} \right) = 0
Trong đó \delta _{kl} là kí hiệu Kronecker.
Sửa bởi vualangbat vào lúc 02-07-2009 15:29
 
brahman
 Cảm ơn Vua, hy vọng chúng ta còn tìm thấy nhiều điều hấp dẫn từ topic này.

brahman muốn nói thêm một chút nhận xét của mình về bài 7/86. Đây là một sự kết hợp đầy đủ của DEFINITION trang 40. Ta tóm tắt lại như sau. Bằng cách chỉ ra được hàm Green cho bt
 \left\{ \begin{matrix} - \Delta u  =  f  & \;\;\; \text{in  } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on  } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.

chính là:
 G(x,y) = \Phi ( y - x ) - \Phi \left(  |x| \left(  \frac{y}{r}  - \frac{ rx }{ |x|^2 } \right) \right)

chúng ta có thể ktr lại các tính chất đặt trưng:
 \forall x \in B( 0,r) \; , \; \left\{ \begin{matrix} - \Delta _y G( x , y ) & =  & \delta ( x - y ) & \text{if}& y \in B(0,r ) \\  G( x , y ) & = & 0 & \text{if}& y \in \partial B(0,r)  \end{matrix} \right.

trong đó \delta là phân bố Dirac, còn \Phi là nghiệm cơ bản trên toàn \mathbb{R}^n của pt Laplace, nó là:
 \Phi ( x - y ) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{1}{ 2 \pi } \ln | x - y| & , &  n = 2 \\ \frac{1}{ n (n-2) \alpha (n) } \frac{1}{ | x-y|^{n-2}}   & , &  n  \ge 3 \end{matrix}\right.

Chúng mình dùng CT Green thứ 2 để xem xét nghiệm của bài toán
 \left\{ \begin{matrix}  \Delta u  =  0  & \;\;\; \text{in  } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on  } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.

Rằng, nếu nghiệm tồn tại và đủ trơn thì nó sẽ ở dưới dạng
\begin{align}u (x) & = - \int_{\partial B( 0,r)} g (y) \frac{\partial G }{ \partial n }(x,y) \text{d} S(y) \nonumber\\ &= \frac{ r^2  - |x|^2 }{ n \alpha (n) r} \int_{ \partial B(0,r)} \frac{ g(y)}{ | x - y| ^n } \text{d} S(y)  \;\; , \; \forall x \in B_0( 0,r) \end{align}

THEOREM 15 thì khẳng định chiều ngược lại: nếu u xác định bởi (1) thì nó sẽ đủ trơn và là nghiệm của bt trên.

Cuối cùng, bài tập 5/86 nói rằng bt trên không còn nghiệm nào khác ngoài nó ! Tức là nếu u_1 ,u_2 là hai nghiệm của bt thì u_1 - u_2 là nghiệm bài toán:
 \left\{ \begin{matrix}  \Delta u  =  0  & \;\;\; \text{in  } B_0(0,r) \\ u = 0 & \;\;\; \text{on  } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.

dùng oánh giá bt 5/86 chúng ta có u_1 - u_2 = 0.

Ta có thể cm 5/86 như sau. Nếu u là nghiệm bài toán
 \left\{ \begin{matrix}  \Delta u  =  f  & \;\;\; \text{in  } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on  } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.

thì dùng CT Green 2 (dưới sự phù hộ của các ĐL hội tụ tích phân) chúng ta viết nghiệm dưới dạng
 u(x) = \int_{B(0,r)} f(y) G(x,y) \text{d} y  - \int_{\partial B( 0,r)} g (y) \frac{\partial G }{ \partial n } (x,y) \, \text{d} S(y)

Từ đây, dùng BĐT tam giác và các đánh giá dưới tp, chúng ta có đpcm của BT 5/86

Nếu có đồng đạo nào chứng minh 5/86 cho trường hợp ta thay thế B(0,1)bằng \Omega bị chặn bất kỳ thì thật tuyệt ! Smile

Trong thời gian chờ reply của mọi người, brahman tạm lái sang chủ đề hàm Green cho pt nhiệt. Đây là một bài brahman rất thích:

11/87: Assume n=1 and u( x,t) = v \left( \frac{x^2}{t} \right)
a) show
 u_t = u_{xx} \;\; \Leftrightarrow \;\; (*) \, : \,  4z v''(z) + (2+z) v'(z) =0 \; , \, \forall z > 0

b) show that the general solution of (*) is
 v (z) = c \int_{0}^z \text{e} ^{ -s/4} s^{ -1/2} \text{d} s + d

c) Differentiate v( x^2 / t ) with respect to x and select the constant c properly, so as to obtain the fundamental solution \Phi for n=1.
Sửa bởi brahman vào lúc 02-07-2009 20:09
tat tvam asi
 
vualangbat
 Cám ơn anh brahman đã nói khá kĩ về cái mệnh đề tương đương này, nói chung từ công thức Green chúng ta có một chút biến đổi sẽ thu được công thức Poisson mà chúng ta làm ở trên. Hôm nay chờ bạn nào đó có câu trả lời cho bài trên của anh brahman vì bài này khá nhẹ nhàng, có câu 1 là có biến đổi chút nhưng cũng khá đơn giản, câu hai thì chắc ai cũng giải được từ ok mà cái nghiệm này đôi lúc ta cũng hay biết được viết dưới dạng 2\sqrt \pi  cErf\left[ {\frac{{\sqrt z }}{2}} \right] + d trong đó cái Erf là cái error function. Ý cuối thì ko còn gì.

Thêm một số bài từ chương 2, hi vọng chúng ta cùng tham gia giải quyết nhanh gọn để chuyển qua đọc chương khác.

Bài 4/86. Chúng ta nói v \in C^2 \left( {\overline U } \right) là subharmonic nếu
- \Delta v \le 0 trong U

(a) Chứng minh với v là subharmonic thì
v(x) \le \int\limits_{B(x,r)} {vdy} với mọi B(x,r) \subset U

(b)Chứng minh
\max _{\overline U } v = \max _{\partial \overline U } v

(c) Cho \phi :R \to R là smooth và convex. Giả sử u là harmonic và v = \phi (u). Chứng minh v là subharmonic.
(c) Chứng minh v: = \left| {Du} \right|^2 là subharmonic khi u là harmonic.
Bài 8/86. Cho u là nghiệm của phương trình
\Delta u = 0 trong R_ + ^n u = g trên \partial R_ + ^n

Cho bởi Poisson's formula for the half-space. Giả sử g bị chặn và g(x) = \left| x \right| với x \in \partial R_ + ^n ,\left| x \right| \le 1. Chứng minh Du không bị chặn trong lân cận x=0.

Còn thêm một số bài 9,10,13,14,18 cần giải nữa. Gõ đề dài quá lần sau gõ tiếp không nhờ anh brahman gõ lên luôn.
Sửa bởi vualangbat vào lúc 04-07-2009 23:48
 
vualangbat
 Để tiện cho các bạn theo dõi mình sẽ có một số gợi ý cho lời giải các bài toán trên

Bài 4/86.
(a). Câu này khá đơn giản
(b). Sử dụng maximum principle
(c).Sử dụng tính điều hòa của hàm u và tính lồi của \phi
(d). Sử dụng câu (c).
Bài 8/86.
Bài này khá khó ta có thể dùng công thức tích phân Poisson

Bài số 10/87 cũng là một tính chất khá hay của phương trình nhiệt.
Hi vọng mọi người tham gia cho vui.
 
vualangbat
 trước khi chúng ta giải tiếp các bài của sách Evans ta lại xem lại bài 7/86 ở trên, có một câu hỏi nhỏ cho bài toán ngược lại là
Xét bài toán biên Dicrichlet
\Delta u = 0 trong \Omega với mọi x\left. u \right|_{\partial \Omega }  = \varphi (x) ngoại trừ một điểm biên x^* và thỏa mãn điều kiện \mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } }\limits_{x \in \Omega } u(x) = \varphi (x_0 ) vơi mọi x_0  \in \Omega  \ne x^* . Hỏi nghiệm bài toán này có duy nhất hay không?

Thêm bài từ sách

10/86. Giả sử u trơn và là nghiệm của u_t  - \Delta u = 0 in R^n  \times \left( {0,\infty } \right)
(i) Chứng mỉnh rằng u_\lambda  (x,t) = u(\lambda x,\lambda ^2 t) cũng là nghiệm của phương trình nhiệt trên.
với mọi \lambda  \in R
(ii) Chứng minh v(x,t) = xDu(x,t) + 2tu_t (x,t) cũng là nghiệm của phương trình nhiệt đã cho.

Mọi người tham gia thảo luận cho vui!
Sửa bởi vualangbat vào lúc 06-07-2009 08:12
 
hunghdmath
 Về câu hỏi chứng minh bài 5/86 cho trường hợp miền bất kì. Xét bài toán biên Dirichlet
 \left\{ \begin{matrix} - \Delta u  =  f  & \;\;\; \text{trong  }\; \Omega \\ u = g & \;\;\; \text{tren  }\; \partial \Omega\end{matrix}\qquad (1) \right.

với các giả thiết: \Omega là miền bị chặn biên trơn trong \mathbb R^n, f\in C(\Omega)g\in C(\partial \Omega).

Khi đó tồn tại hằng số C sao cho với mọi u là nghiệm cổ điển của bài toán (1), tức u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) thì có bất đẳng thức

 \underset{\Omega}{\text{max}} |u| \le C \left( \underset{ \partial \Omega}{\text{max}} |g| + \underset{\Omega}{\text{sup}} |f| \right)


BDT nói rằng nghiệm của (1) phụ thuộc liên tục vào các dữ liệu cho trước và tính duy nhất nghiệm cũng có thể suy ra từ đây.
Ý tưởng chứng minh ở đây là sử dụng nguyên lý cực trị cho hàm điều hòa dưới (trên) bằng cách sửa u về một hàm điều hòa dưới thích hợp. Đặt M=\underset{\Omega}\sup |f|, \ell=\underset{x\in \Omega}\sup|x| và xét hàm
v(x)=u(x)-M\frac{\ell^2-|x|^2}{2n} thì v là hàm điều hòa dưới. Do đó v(x)\leq\underset{\partial\Omega}\max v (chẳng hạn xem kết quả bài 4/86). Từ đây biến đổi một chút sẽ nhận được ngay đánh giá của u,
u(x)\leq \underset{\partial\Omega}\max u+\frac{\ell^2}{2n}M.

Bằng cách xét hàm v_1(x)=u(x)+M\frac{\ell^2-|x|^2}{2n} thì hàm này nửa điều hòa trên do đó ta sẽ có bdt còn lại. Kết hợp hai bdt đó và chọn hằng số C thích hợp sẽ nhận được kết quả.
 
hunghdmath
 Tôi muốn hỏi một câu thế này:

1) Đưa ra idea để tìm hàm Green cho hình cầu (cái này Evans có nói nhưng theo tôi chưa hay và dễ hiểu lắm).
2) Với những miền nào có thể tìm được hàm Green, ngoài các hình cầu và nửa không gian?
 
hoadai
 Ý tưởng giải bài tập trong cuốn Evans là rất hay, tôi không biết nhiều về PDE nhưng cũng xin ủng hộ trong khả năng Smile

hunghdmath viết rằng:
Về câu hỏi chứng minh bài 5/86 cho trường hợp miền bất kì. Xét bài toán biên Dirichlet
 \left\{ \begin{matrix} - \Delta u  =  f  & \;\;\; \text{trong  }\; \Omega \\ u = g & \;\;\; \text{tren  }\; \partial \Omega\end{matrix}\qquad (1) \right.

với các giả thiết: \Omega là miền bị chặn biên trơn trong \mathbb R^n, f\in C(\Omega)g\in C(\partial \Omega).

Khi đó tồn tại hằng số C sao cho với mọi u là nghiệm cổ điển của bài toán (1), tức u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) thì có bất đẳng thức

 \underset{\Omega}{\text{max}} |u| \le C \left( \underset{ \partial \Omega}{\text{max}} |g| + \underset{\Omega}{\text{sup}} |f| \right)


Tôi xin ghi lại 1 chứng minh khác, ý giống như hunghdmath, nhưng có phần trực tiếp hơn. Ta sẽ chứng minh
\underset{\overline{\Omega}}{\text{max}} |u| \le  \underset{ \partial \Omega}{\text{max}} |g| + C\underset{\Omega}{\text{sup}} |f|~~~(1).

với C=\underset{\overline{\Omega}}{\text{sup}}|x|^2<\infty.

Trước khi tấn công ta cần 1 số bước thăm dò để sửa soạn chiến trường.
Bước 1. Ta thấy rằng chỉ cần chứng minh (1) cho hàm thực. Thật vậy, trong trường hợp u nhận giá trị phức thì ta chuyển về hàm thực như sau. Lấy |u(x_0)|=\underset{\Omega}{\text{max}} |u(x)|. Bằng cách change a complex phase (cụ thể là nhân thêm \overline{u(x_0)}/|u(x_0)| vào u,f,g) nếu cần ta có thể giả sử u(x_0)\ge 0. Viết u=a+ib với a,b là hàm thực, khi đó u(x_0)=a(x_0). Áp dụng trường hợp hàm thực cho hàm số a ta có đpcm.

Bước 2. Bây giờ xét u là hàm thực. Ta thấy rằng chỉ cần chứng minh (1) trong trường hợp riêng
\underset{\overline{\Omega}}{\text{max}} u \le  \underset{ \partial \Omega}{\text{max}} g + C\underset{\Omega}{\text{sup}} (-f)~~~(2).

sau đó kết hợp với BDT tương tự với {\text{min}} u (thu được bằng cách đổi dấu u,f,g) thì ta có BDT (1).

Chứng minh. Bây giờ ta chứng minh (2).
Lấy M>\underset{\Omega}{\text{sup}} (-f) và xét v=u+Mx^2. Khi đó
-\Delta v= -\Delta u +M >0.

Lấy v(x_0)=\underset{\overline{\Omega}}{\text{max}} v. Nếu x_0\in \Omega thì x_0 là 1 điểm cực đại của v trên miền mở \Omega nên \Delta v(x_0)\le 0 (suy từ tính chất hàm 1 biến: nếu w đạt cực đại tại t thì w''(t)\le 0), nhưng điều này là không thể. Vậy x_0\in \partial \Omega.
Vậy
u(x)+Mx^2=v(x)\le v(x_0)=g(x_0)+Mx_0^2 với mọi x\in \overline{\Omega}.

Suy ra
\underset{\overline{\Omega}}{\text{max}} u \le  \underset{ \partial \Omega}{\text{max}} g + CM.

Vì điều này đúng với mọi M>\underset{\Omega}{\text{sup}} (-f) nên nó cũng đúng với M=\underset{\Omega}{\text{sup}} (-f), tức là ta có (2).

Kỹ thuật đưa về điểm cực đại của v rồi suy ra \Delta v(x_0)\le 0 rất đơn giản nhưng nhiều khi khá hiệu quả (mặc dù nhược điểm của nó là phải cho tính trơn khá hào phóng). Đây cũng là 1 cách để chứng minh nguyên lý cực trị cho hàm điều hòa (trên, dưới), có thể xem thêm trong Giải tích hàm-lý thuyết và ứng dụng của Haim Brezis.
---
PS: tôi tìm online cuốn functional analysis của H.Brezis chỉ có bản tiếng Pháp và tiếng Ý. Nếu bạn nào có bản tiếng Anh (hoặc tiếng Việt) share cho thì rất cảm ơn.

Quê hương là đường đi học
Con về rợp bớm vàng bay
 
brahman
 Cảm ơn các đồng đạo đã tham gia. Xin lỗi vì lặng hơi lâu, dạo này brahman phải đâm đầu vào CFD, hết còn được tung tăng như mong muốn rồi. Về ý của bạn

hunghdmath viết rằng:
Tôi muốn hỏi một câu thế này:

1) Đưa ra idea để tìm hàm Green cho hình cầu (cái này Evans có nói nhưng theo tôi chưa hay và dễ hiểu lắm).
2) Với những miền nào có thể tìm được hàm Green, ngoài các hình cầu và nửa không gian?


theo brahman hiểu thì hàm Green cho bài toán:
 \left\{ \begin{matrix} L[u](x) = f(x) & \text{in} & \Omega \\ B[u](x) = g(x) & \text{on} & \partial  \Omega \end{matrix} \right.

luôn tồn tại, nếu toán tử vi phân L tuyến tính hệ số hằng (ĐL Malgrange-Ehrenpresis-Hormander). Hàm green chính là nghiệm cơ bản của phương trình
L^* [G](x, \xi ) = \delta ( x - \xi ) \; , \; \xi \in \Omega  \;\;\;(1)

thỏa điều kiện biên liên hợp
 B[G] ( x , \xi ) = 0 \; ,\; \xi \in \partial \Omega \;\;\; (2)

Như vậy,chúng ta thử kiểm tra
 \forall x \in B( 0,r) \; , \; \forall \varphi \in C^{\infty}_c ( B(0,r)) \; ,\; \int_{B(0,r) } \Delta _y G( x , y ) \, \varphi (y) \text{d} y =  \varphi (x)

thì hàm Green của BT là
 G(x,y) = \Phi ( y - x ) -\Phi \left(  |x| \left(  \frac{y}{r}  - \frac{ rx }{ |x|^2 } \right) \right)

vì chúng thỏa (1)(2) (tất cả đều phải ktr hết Grin). Đó là kết quả đẹp ! (mình nghĩ thế)

ngoài ra, chúng ta có thể giải
 \left\{ \begin{matrix} - \Delta _y G( x, \xi )= \delta ( x - \xi ) &, & \xi \in B(0,r) \\ G(x,\xi ) = 0  &, & \xi \in \partial  B(0,r) \end{matrix} \right.

bằng cách đưa về tọa độ cực và tách biến, hàm Green cò thể khai triển dưới dạng chuỗi Fourier, vd n=2 chuỗi fourier-bessel , n=3 chuỗi fourier-legendre ... Điều này tương tự cho \Omega là hình chữ nhật, ngoài ra các miền mà có cái biên xấu xí thì ... hên xui à Grin

@hoadai: mình biết có một bản dịch tiếng Việt của NguyenThanhLong & NguyenHoiNghia do NXB Đại học quốc gia TpHCM xuất bản. Nếu bạn ở VN thì tìm mua là ok thôi.
Sửa bởi brahman vào lúc 09-07-2009 17:03
tat tvam asi
 
vualangbat
 mấy hôm nay cũng bận quá ngày nào cũng lao động công ích, vào chiến thủ vài bài xem sao
10/86.
Bài này là một bài hay nhưng dễ, là một tính chất của lớp các nghiệm của phương trình nhiệt,
câu đầu thì thấy ngay sau khi ta tính các đạo hàm riêng, câu 2 thì ta chú ý
\left( {\partial _\lambda  u_\lambda  } \right)\left( {x,t} \right) = \partial _\lambda  \left[ {u\left( {\lambda x,\lambda ^2 t} \right)} \right] = xDu\left( {\lambda x,\lambda ^2 t} \right) + 2\lambda tu_t \left( {\lambda x,\lambda ^2 t} \right)(thoe câu 1)
Từ đó ta có v_\lambda  (x,t) = xDu\left( {\lambda x,\lambda ^2 t} \right) + 2\lambda tu_t \left( {\lambda x,\lambda ^2 t} \right) cũng là nghiệm của phương trình nhiệt đã cho. Thay \lambda=1 ta thu được kết quả bài toán.
Bài 8/86 có vẻ hơi khó không biết mấy anh có ý kiến gì không nhỉ

Anh hoadai thì ko có ở VN, mà lạ thật cuốn sách hay thế mà tiếng Ý, Pháp, Tây Ban Nha có rồi mà tiếng Anh hình như ko có? Anh brahman có bản tiếng Việt share cho cuốn nhỉ(hihi)
Sửa bởi vualangbat vào lúc 10-07-2009 03:57
 
brahman
 Bài 8/86 Mình thử dùng cái ý (33) trang 37 đi vualangbat !

Nghiệm là
 u( x) = \frac{2x_n }{ n \alpha (n)} \int_{ \partial \mathbb{R}^n_{+}} \frac{ g(y)}{ | x-y|^n} \text{d} y

Giả sử ngược lại, tức là u nó khả vi Frechét tại x = 0, tức là
 \exists M > 0 \; , \;  \forall x \in  \mathbb{R}^n_+ \; , \; |Du (x)| < M

thế thì nó khả vi Gateaux tại x=0. Suy ra
 \lim_{\lambda \downarrow 0 } \frac{ u ( \lambda e _n ) - u (0 )}{ \lambda}

tồn tại hữu hạn. Lúc này chúng mình chia tích phân làm hai miếng
 u( x) = \underbrace{ \frac{2x_n }{ n \alpha (n)}\int_{ \partial \mathbb{R}^n_{+} , |y  | \le 1 } \frac{ g(y)}{ | x-y|^n} \text{d} y}_{I}  +\underbrace{  \frac{2x_n }{ n \alpha (n)}  \int_{ \partial \mathbb{R}^n_{+} , |y  | > 1 } \frac{ g(y)}{ | x-y|^n} \text{d} y }_{J}

với x := \lambda e_n = (0,0, \ldots , \lambda), do g nó bị chặn nên con J hữu hạn. Vậy là
  \frac{ u ( \lambda e _n ) - u (0 )}{ \lambda} = \frac{2  }{ n \alpha (n)}  \int_{  \partial \mathbb{R}^n_{+} , |y  | \le 1 } \frac{ |y|  }{ | \lambda e _n - y |^n} \text{d} y + \text{huu han}

đến đây thì để ý rằng với mỗi cái \lambda \in (0,1), bởi | \lambda e_n - y| = ( \lambda ^2 + |y|^2)^{1/2}, ta có woánh giá
\int_{  \partial \mathbb{R}^n_{+} , |y  | \le 1 } \frac{ |y|  }{ | \lambda e _n - y |^n} \text{d} y \ge \int_{  \partial \mathbb{R}^n_{+} , \lambda < |y  | \le 1 } \frac{ |y|  }{ | \lambda e _n - y |^n} \text{d} y \ge \int_{  \partial \mathbb{R}^n_{+} , \lambda < |y  | \le 1 } \frac{ 2^{-n/2}  }{ | y |^{n-1}} \text{d} y

đổi sang tọa độ cầu trong \mathbb{R}^{n-1}, chịu khó tính cái Jacobian cho dy thì ta thấy
\int_{  \partial \mathbb{R}^n_{+} , \lambda < |y  | \le 1 } \frac{ 1  }{ | y |^{n-1}} \text{d} y   = \text{O} \left( \frac{1}{\lambda} \right) \; \text{ when } \lambda \downarrow 0

cho \lambda \downarrow 0 suy ra đpcm.

vualangbat viết rằng:
Anh hoadai thì ko có ở VN, mà lạ thật cuốn sách hay thế mà tiếng Ý, Pháp, Tây Ban Nha có rồi mà tiếng Anh hình như ko có? Anh brahman có bản tiếng Việt share cho cuốn nhỉ(hihi)

Đợi anh gặt đám lúa giống bán lấy tiền scan sách gửi cho vua nhé ! Grin ah mà bạn hoadai đang làm phd hả ? Ở nước nào thế vua ?
----------------------------------------------------------------------------------------------

PS: brahman làm nốt cái ý còn dang dở.
Sửa bởi brahman vào lúc 11-07-2009 18:48
tat tvam asi
 
vualangbat
 ok anh brahman, lời giải khá nhẹ nhàng ở đây ta chỉ cần chú ý cái ý là để chứng minh Du không bị chặn trong lận cận của x=0 thì chỉ cần chứng minh
\left| {\frac{{u(\lambda e_n)  - u(0)}}{\lambda }} \right| \to \infty khi \lambda  \to 0 +

Và để chứng minh hai cái tích phân tách của anh brahman 1 cái bị chặn 1 cái ra vô hạn thì chú ý \left| {\lambda e_n  - y} \right|^2  = \lambda ^2  + \left| y \right|^2

Ta thấy cái tích phân sau bị chặn là hiển nhiên do g bị chặn, tích phân thứ nhất chắc cũng biến đổi tí chút và chuyển qua hệ tọa độ cực phụ thuộc theo bán kính rđể suy ra(không biết đoạn này anh brahman làm sao nhỉ).

Mấy câu còn lại gồm 9,12,13,14,15,16,17,18 hi vọng có thêm nhiều mem quan tâm đến cái này hơn nữa
Sửa bởi vualangbat vào lúc 11-07-2009 05:04
 
brahman

vualangbat viết rằng:
....
Và để chứng minh hai cái tích phân tách của anh brahman 1 cái bị chặn 1 cái ra vô hạn thì chú ý \left| {\lambda e_n  - y} \right|^2  = \lambda ^2  + \left| y \right|^2

Ta thấy cái tích phân sau bị chặn là hiển nhiên do g bị chặn, tích phân thứ nhất chắc cũng biến đổi tí chút và chuyển qua hệ tọa độ cực phụ thuộc theo bán kính rđể suy ra(không biết đoạn này anh brahman làm sao nhỉ).

Mấy câu còn lại gồm 9,12,13,14,15,16,17,18 hi vọng có thêm nhiều mem quan tâm đến cái này hơn nữa


brahman có edit phía trên đó vualangbat, cũng như ý của em thôi. Có điều mình chọn đúng cái giá trị chính và đánh giá nó.

Bài 12/87 Write down an explicit formula for a solution of
\left\{ \begin{matrix} u_t - \Delta u +  cu & = & f & \text{in} & \mathbb{R}^n \times (0, \infty ) \\ u &=& g & \text{on} & \mathbb{R}^n \times \{ t = 0 \} \end{matrix} \right.

where c \in \mathbb{R}.

brahman viết sơ cái ý chính. Chúng ta sẽ đổi biến v =  \text{e}^{ct} u, bởi từ bài toán đầu ta có một bt tương đương:

\left\{ \begin{matrix} \frac{\partial }{\partial t } \left( \text{e}^{ct} u \right) - \Delta \left( \text{e}^{ct} u \right) & = & \text{e}^{ct}f & \text{in} & \mathbb{R}^n \times (0, \infty ) \\ u &=& g & \text{on} & \mathbb{R}^n \times \{ t = 0 \} \end{matrix} \right.

tức là, ta giải
\left\{ \begin{matrix} v_t - \Delta v & = & f_0 & \text{in} & \mathbb{R}^n \times (0, \infty ) \\ v &=& g_0 & \text{on} & \mathbb{R}^n \times \{ t = 0 \} \end{matrix} \right.

ở đây f_0 = \text{e}^{ct}f . Nhân hai vế cho
G( x,t ; \xi , \tau ) := \frac{H( t - \tau)}{[4\pi (t - \tau)]^{n/2}} \text{e}^{ - \frac{(x-\xi)^2}{4(t-\tau)}}

trong đó H là phân bố Heaviside. Tích phân kq trên  \mathbb{R}^n \times (0, \infty ) và áp dụng Divergence theorem dưới sự bảo kê của ĐL hội tụ bị chặn (cái này mà viết chi tiết rất dài dòng), chúng ta thu được:
 v(x,t) = \int_0^t \int_{\mathbb{R}^n}G( x , \xi ; t ,\tau) f_0 (\xi , \tau) \,  \text{d} \xi \text{d} \tau + \int_{\mathbb{R}^n}G( x , \xi ; t , 0 ) g(\xi) \, \text{d} \xi

Túm lại, nghiệm bài toán là:
 u(x,t) = \int_0^t \int_{\mathbb{R}^n} \text{e}^{-c(t - \tau )} G( x , \xi ; t ,\tau) f (\xi , \tau) \,  \text{d} \xi \text{d} \tau + \text{e}^{-ct} \int_{\mathbb{R}^n}  G( x , \xi ; t , 0 ) g(\xi) \, \text{d} \xi

Sửa bởi brahman vào lúc 12-07-2009 01:48
tat tvam asi
 
vualangbat
 @anh brahman: ok cái ps bài trên thế là hoàn chỉnh, gọn gàng.
nhìn bài giải của anh brahman cho bài 12/87 có chút liên tưởng nhỏ chú ý với các bạn nào mới học về PDE hay ptrinh toán lý
Khi gặp các phương trình L[u]=f mà toán tử L[u] có dạng(xét n=2)
L[u]=u_t  -( a\Delta u + b_1 u_x  + b_2 u_y  + cu)=f
để đưa về phương trình có dạng thông thường L[v]=v_t  - a\Delta v=f' thì ta thực hiện phép đổi biến
u = e^{\left( { - \frac{{b_1 }}{{2a}}x - \frac{{b_2 }}{{2a}}y + \left( {c - \frac{{b_1^2  + b_2^2 }}{{4a}}} \right)t} \right)} v
Trong bài 12/87 thì ta có b_1=b_2=0 nên ta có cái biến đổi của anh brahman.
Trong toán lí ptrinh như dạng trên biểu diễn cho các trường không dừng của nhiệt độ(nồng độ) trong môi trường chuyển động với vấn tốc hằng khi có sự tỏa nhiệt (hấp thụ nhiệt).
Cách đổi biến này ta cũng hay gặp khi giải các bài toán Sturm-Liouville
Thông thường bài toán S_L với toán tử Laplace có dạng \Delta v + \lambda v = 0 nhưng đôi lúc ta cũng gặp dạng \Delta u + b_1 u_x  + b_2 u_y  + cu + \lambda u = 0 thì ta cung đổi biến tg tự
u = e^{ - \frac{1}{2}b_1 x - \frac{1}{2}b_2 y} v và trở lại bài S_L đơn giản...

13/87 Như cái Hint của Evans đặt v(x,t) = u(x,t) - g(t) ta đặt w(x,t)là sự mở rộng của v(x,t) với cả các x<0
Từ đó ta có w thỏa mãn phương trình
w_t  - w_{xx}  =  - sign(x)g'(t) trong miền R \times \left( {0,\infty } \right)

công thức nghiệm của ptrinh trên ta đã biết có dạng
w(x,t) =  - \int\limits_0^t {\frac{1}{{\left( {4\pi \left( {t - s} \right)^{1/2} } \right)}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {e^{ - \frac{{(x - y)^2 }}{{4(t - s)}}} sign(y)g'(s)dyds} }

chú ý
\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {e^{ - \frac{{(x - y)^2 }}{{4(t - s)}}} sign(y)dy}  = 2\sqrt {4(t - s)} \int\limits_0^{\frac{x}{{\sqrt {4(t - s)} }}} {e^{ - z^2 } dz}

khi x>0,t>s>0(đổi biến z = \frac{y}{{\sqrt {4(t - s)} }} )
và với x>0,t>0 thì nghiệm trên trở thành
w(x,t) =  - \frac{2}{{(\pi )^{1/2} }}\int\limits_0^t {g'(s)\int\limits_0^{x/\sqrt {4(t - s)} } {e^{ - z^2 } dzds} }


Chém cái tích phân này 1 hồi thu được

w(x,t) =  - \frac{2}{{(\pi )^{1/2} }}g(t)\int\limits_0^\infty  {e^{ - z^2 } dz}  + \frac{1}{{(\pi )^{1/2} }}\int\limits_0^t {\frac{x}{{\sqrt 4 (t - s)^{3/2} }}} e^{ - \frac{{x^2 }}{{4(t - s)}}} g(s)ds

chú ý cái tích phân Euler-Poisson ta có
w(x,t) =  - g(t) + \frac{x}{{(4\pi )^{1/2} }}\int\limits_0^t {\frac{1}{{(t - s)^{3/2} }}} e^{ - \frac{{x^2 }}{{4(t - s)}}} g(s)ds

Từ đó ta có khi x>0,t>0
u(x,t)=g(t)+v(x,t)=g(t)+w(x,t)=\frac{x}{{(4\pi )^{1/2} }}\int\limits_0^t {\frac{1}{{(t - s)^{3/2} }}} e^{ - \frac{{x^2 }}{{4(t - s)}}} g(s)ds
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Sửa bởi vualangbat vào lúc 12-07-2009 07:10
 
vualangbat
 tiếp tục chia sẻ các bài của Evans còn lại 3 hay 4 câu, làm bài dễ số 16/88
Nói chung phương trình Maxwell hầu hết ta hay đưa về phương trình Helzmon tuy nhiên đối với ptrinh ở sách của Evans thì ta bỏ qua mật độ dòng và mật độ điện tích (coi như bằng không).
Ta có thể viết lại cái hệ ptrinh Maxwell trong trường hợp đơn giản(theo sách Evans)
\frac{{\partial E}}{{\partial t}} = rotB,\frac{{\partial B}}{{\partial t}} =  - rotE,divB = divE = 0
Khi đó ta có
\frac{{\partial ^2 E}}{{\partial t^2 }} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {rotB} \right] = rot\left[ {\frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right] = rot[ - rotE] =  - \left( {\nabla  \times \left[ {\nabla  \times E} \right]} \right) =  - \nabla \left( {\nabla ,E} \right) + \Delta E = \Delta E
do divE=0
Vậy ta có
\frac{{\partial ^2 E}}{{\partial t^2 }} - \Delta E = 0
Tương tự cho trường B
Trong trường hợp có mật độ dòng j,j^{ct} và mật độ điện tích \rho ,\rho ^{ct} thì phép chuyển có vẻ phức tạp hơn.

Còn câu 14,17,18 anh brahman có ý gì nhỉ?
Sửa bởi vualangbat vào lúc 13-07-2009 17:02
 
umf
 mới học chút chút về PDE mà thấy khó quá, vào đây nhờ mấy anh chỉ bảo chút đọc câu 18 thì em liên tưởng ngay đến công thức Kirchhoff về nghiệm của phương trình sóng khi (n=3).


upload.wikimedia.org/math/1/9/2/192191ff6c5a81ddfafb352435a6dd3e.png

upload.wikimedia.org/math/e/9/f/e9f14bb7ad1e56b262f6c8dd949a3242.png

Khồn biết có phải bài 18/89 dùng đến công thức này hay không?
 
vualangbat
 cái ý của trịnh công sơn xem ra là đúng rồi để thu được điều phải chứng minh thì không khó lắm.
Chương 1 coi như chúng ta cũng đã xem qua các bài tập khá khá rồi, còn lại vài bài mang tính chất biến đổi tính toán thì bỏ qua, bắt đầu lần mò đọc chương mới(có vẻ khó) chương này hứa hẹn có nhiều kiến thức hay và hấp dẫn
Xin đưa ra vài câu
7/163. Prove that the Hopf-Lax formula reads
u(x,t) = \mathop {\min }\limits_{y \in R^n } \left\{ {tL\left( {\frac{{x - y}}{t}} \right) + g(y)} \right\} = \mathop {\min }\limits_{y \in B(x,Rt)} \left\{ {tL\left( {\frac{{x - y}}{t}} \right) + g(y)} \right\}
for R = \sup _{R^n } \left| {DH(Dg)} \right|,H = L^* (This proves finite propagation
speed for a Hamilton-Jacobi PDE with convex Hamiltonian and Lip- schitz continuous initial function g)
8/163.Let E be a closed subset of R^n. Show that if the Hopf-Lax formula could be applied to the initial-value problem
u_t  + \left| {Du} \right|^2  = 0\,\,\,\, in R^n  \times \left( {0,\infty } \right)
u = 0\,\,\,\,x \in E and u =  + \infty \,\,\,\,x \notin E on R^n  \times \left\{ {t = 0} \right\}
it would give the solution
u(x,t) = \frac{1}{{4t}}dist\left( {x,E} \right)^2
13/164.Assume F(0)=0, u is a continuous integral solution of the conservation law
u_t  + F(u)_x  = 0 in R^n  \times \left( {0,\infty } \right)
u=g on R^n  \times \left\{ {t = 0} \right\}
and u has compact support in R \times \left[ {0,\infty } \right]. Prove
\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {u( \cdot ,t)dx}  = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {gdx}
for all t>0
và câu 14/164-165.
 
trinhcongson

vualangbat viết rằng:
Xét bài toán biên Dicrichlet
\Delta u = 0 trong \Omega với mọi x\left. u \right|_{\partial \Omega }  = \varphi (x) ngoại trừ một điểm biên x^* và thỏa mãn điều kiện \mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } }\limits_{x \in \Omega } u(x) = \varphi (x_0 ) vơi mọi x_0  \in \Omega  \ne x^* . Hỏi nghiệm bài toán này có duy nhất hay không?


Theo mình nghĩ bài toán không duy nhất được
Ví dụ ta xét miền \Omega  = \left\{ {0 < r < 1,0 < \varphi  < \pi /2} \right\} \subset R^2
trong đó \left( {r,\varphi } \right) là các tọa độ cực và x^*  = 0 \in \partial \Omega
Ta xét bài toán Dirichlet
\Delta u = 0,\,\,\,x \in \Omega ,\,\,\,\,\,\,\,\left. {u(x)} \right|_{x \in \partial \Omega ,x \ne 0}  = 0
nghiệm bài toán này không duy nhất vì ta thấy nó có 2 nghiệm
u_1 (r,\varphi ) = 0,u_2 (r,\varphi ) = \left( {r^2  - \frac{1}{{r^2 }}} \right)\sin 2\varphi

Mấy bài của chương mới có vẻ khó không biết các anh có thể hướng dẫn chút chút ko ?
nghesidoitoi
 
vualangbat

8/163.Let E be a closed subset of R^n. Show that if the Hopf-Lax formula could be applied to the initial-value problem
u_t  + \left| {Du} \right|^2  = 0\,\,\,\, in R^n  \times \left( {0,\infty } \right)
u = 0\,\,\,\,x \in E and u =  + \infty \,\,\,\,x \notin E on R^n  \times \left\{ {t = 0} \right\}
it would give the solution
u(x,t) = \frac{1}{{4t}}dist\left( {x,E} \right)^2


Tiếp tục làm 1 bài dễ để giải lao

Chúng ta có chú ý H(p)=p^2
thì lúc đó L(q) = \mathop {\max }\limits_{p \in R^n } \left\{ {pq - H(p)} \right\} = \mathop {\max }\limits_{p \in R^n } \left\{ {pq - p^2 } \right\}
Ta dễ thấy hàm trên đạt cực đại khi p=q/2
Do đó L(q)=q^2/4
do đó ta viết lại Hopf-Lax formula
u(x,t) = \mathop {\min }\limits_{y \in R^n } \left\{ {\frac{{\left| {x - y} \right|^2 }}{{4t}} + u(y,0)} \right\}
từ giả thiết bài toán cho ta có nếu y \notin E thì biểu thức trên tiến ra vô cùng.
Khi y \in E thì ta có
u(x,t) = \mathop {\min }\limits_{y \in R^n } \left\{ {\frac{{\left| {x - y} \right|^2 }}{{4t}}} \right\} = \frac{{\min \left| {x - y} \right|^2 }}{{4t}} = \frac{1}{{4t}}dist\left( {x,E} \right)^2
 
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
phamquangtoan
» Sự trăn trở ...
phamquangtoan
» Vì sao học sin...
phamquangtoan
» Cần học hỏ...
Vnkvant
» "Làm toán" là ...
obay
» Bắt đầu nghi...
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tư _17...
Vnkvant
» Vai trò của to...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box và h...
Search MathBooks
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 400.000 đầu sách điện tử ngành Toán và các khoa học khác bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài liệu hoặc tạp chí chuyên ngành Toán với mục đích phi thương mại, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn vào đây


Facebook
Shoutbox
You must login to post a message.

18/08/2013 05:31
Diễn đàn mình nhiều bài hay và chất lượng quá. Em mong diễn đàn ta cứ tồn tại mãi để chúng em còn được tiếp cận với các tài liệu do các anh viết. Smile

16/08/2013 17:50
Nhưng các bài chất lượng thì vẫn còn đây!

25/07/2013 16:51
Sad diễn đàn ít có hoạt động nhỉ?

23/07/2013 07:06
Kvant, Vualangbat, Hoa dai, Nguyen Ngoc...

20/07/2013 08:20
Các Admin có những ai anh nhỉ ??

18/07/2013 20:26
e cứ đợi các admins tụ tập lại 1 lần thảo luận đã, giờ admins trốn hết rồi

11/07/2013 07:16
Bây giờ làm thế nào để diễn đàn được như trước nhỉ ??

02/06/2013 08:20
nhưng chưa có chiều sâu, vì các admin chủ lực đang bận bịu gì đó và ko có liên lạc lẫn nhau.

31/05/2013 07:00
Phải nói là trong số các diễn đàn toán thì em thấy diễn đàn ta là đẹp nhất. Wink

04/03/2013 14:16
thi Toán đơn giản mà. E cần dịch gì a dịch cho, qui đổi theo bài theo thời gian khoảng 2-3 tháng e đọc hiểu và đóan vô tư.

02/03/2013 19:10
Thuê thế nào anh ?? Grin

22/02/2013 13:11
Can thue nguoi ko a day cho) Khoang 3 thang la doc dich duoc

22/02/2013 06:47
Nhìn mà thèm học Tiếng Nga Smile

05/02/2013 20:05
Quet' nha chuan bi don tet

28/01/2013 06:08
Tuan Anh, sao kho' du vay la sao e?

Advertisement
Render time: 0.24 seconds 4,981,404 lượt ghé thăm