October 20 2013 13:17:48
Các trang chính
· Trang Nhất
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Diễn đàn
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· Thư viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds
MathWorld
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học từ MathWorld bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới

Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



Thư viện Sách
· Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, Volume 2)
· Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1)
· Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis, Volu
· Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis
· Problems in Calculus of One Variable
· Théorie des probabilités : problèmes et solutions
· Exercices sur les fonctions analytiques
· Probabilité : Exercices corrigés
· Exercices d'algèbre
· Abel's Theorem in Problems and Solutions
· Stochastic Process: Problems and Solutions
· Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions
· Statistics: Problems and Solutions
· Student Solutions Manual to accompany Complex Variables and Applications
· Complex Variables and Applications
· Problems in Group Theory
· Complex Analysis through Examples and Exercises
· Exercises in Classical Ring Theory
· Exercises in Basic Ring Theory
· Algebra Through Practice: Rings, Fields and Modules - A Collection of Problems in Algebra with Solut
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
· Đề ra kì này Số 05-2001
· Đề ra kì này Số 04-2001
· Đề ra kì này Số 2-2007
· Đề ra kì này Số 3-2001
· Đề ra kì này Số 2-2001
· Đề ra kì này Số 1-2001
· Đề ra kì này Số 2-2008
· Đề ra kì này Số 1-2008
· Đề ra kì này Số 1-2007
· Đề ra kì này Số 6-2000

Trực tuyến
phamquangtoan00:25:50
quangphu02:35:20
tnkh20:52:52
vulalach23:50:26
hungkg 2 days
namnh211 2 days
conanhero 2 days
vietmath 3 days
adam2 3 days
henry0905 4 days
kmath93 5 days
thuanquai 6 days
Vnkvant 6 days
daogiauvang 1 week
dinhcu_pro 1 week
0917317099 2 weeks
lovemath213 2 weeks
nguyentatthu 2 weeks
pminhquy 3 weeks
kimlinh 3 weeks
nguoithanbi123 3 weeks
hunghd8 3 weeks
nhatquangsin 5 weeks
pvthuan 5 weeks
ninza loan thi 5 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 2

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,510
· Thành viên mới nhất: headache
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Chứng minh BĐT
· Nhờ download bài ...
· Tìm số nguyên d�...
· VMO 2004
· Đào tạo thi họ...
· Tìm số nguyên d�...
· Giải phương trì...
· Nhờ download bài ...
· Dịch sang TV bài ...
· Giải phương trình
· Một bổ đề qua...
· Tìm p,q
· Thử thách toán h...
· Một số định l...
· AMM Vol 02/ 1895
· USSR Mathematical Ol...
· Mathematical Olympia...
· Australian Mathemati...
· AMM Vol 01/ 1894
· Bí quyết làm ch�...
· Bí quyết để c�...
· Kinh nghiệm du h�...
· Chứng minh tồn t...
· Chứng minh tài ch...
· Đề thi IMO 2013
· Giải phương trì...
· Tìm nghiệm nguyê...
· Số 4-2000
· Một quỹ hỗ tr�...
· Đề số 03-2008
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download b�... [333]
· Nhờ download b�... [141]
· Problem Of The Mo... [85]
· Vài bài tập c... [85]
· Những định l... [80]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tuyển... [47]
· Thông tin và Th... [40]
· Tính giới hạn [38]
· Các bạn thi ol... [38]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Problem of Washin... [37]
· Problems of Purdu... [37]
· Olympic Sinh viê... [35]
· Ôn tập môn Gi... [34]
· PT vi phân [32]
· Thử thách toá... [31]
· Olympic SV Kiev [31]
· Ôn tập môn Đ... [31]
· Đóng góp cho c... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Mùa hè nóng qu... [28]
· Cập nhật Tạ... [28]
· Tuyển tập 40 ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Số Pi và nhữ... [26]
· Đăng ký tham g... [26]
· Bất đẳng thức [25]
· Phương pháp Mo... [25]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· College Mathemati... [24]
· Tìm nghiệm c�... [24]
· Một câu xác s... [24]
· Collected inequal... [23]
· Tích phân hay [23]
· Chuyển công th... [22]
· Kì Thi Olympic T... [22]
· Bài tập về k... [22]
· Mathematics Magazine [21]
· Olimpiad Toán Đ... [21]
· Phương trình h... [21]
· Phương trình h... [20]
· Tặng daogiauvan... [19]
· Tài khoản MAA ... [19]
· Phép biến đ�... [19]
· Journal Мате�... [19]
· Olympic Sinh viê... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
· Chú ý: THÁNG H... [19]
Xem chủ đề
Cộng Đồng Học sinh - Sinh viên yêu Toán Việt Nam » For Advanced Undergraduate and Graduate Students » Thảo luận
 In chủ đề
BV Functions In One Dimensional Space
kokichi
 Trong bài viết cùa hoadai mình đã đề cập đến vấn đền này. Nhưng nó ko phù hợp với định hướng của hoadai nên mình muốn viết một cái topic nhỏ cho BV functions trong không gian một chiều R. Theo mình, biết về BV functions sẽ rất tốt cho các bạn trong đại học sau này. Mình sẽ cố gắng point out một số hướng (mình biết) mà liên quan rất nhiều về BV functions sau khi chúng ta kết thúc phần construction of BV functions space.
Có môt số cách để tiếp cận đến vấn đề về BV functions. Mĩnh sẽ chọn một cách tiếp cận mà cái bạn đang học đại học có thể dễ dàng nắm bắt ( Không dành cho hoadai nha và cao thủ nhá Frown).
Proposition 1
Let f be an real increasing function in R then
i. The set of discontinuous points of f is countable.
ii. f is differentiable almost everywhere.

Giải bài của hoadai chán rồi thì giải cái này nha. Mình sẽ dùng cái này để construct BV functions space.
Vắng mặt một thời gian. Nhờ hoadai take care of topic dùm hihi !!! Smile
 
vualangbat
 cái này cũng thú vị, liên quan đến BV này có nhiều bất đẳng thức hay, tiếng Nga gọi cái này là (огранниченная вариация), ứng dụng cái này thì cũng có nhiều và như anh kokichi nói nó cũng là một phần quan trọng giúp ích rất nhiều khi ta học toán.
Trở lại vấn đề là bài toán trên.
i) Câu này có vẻ quen thuộc, ta giả sử \Delta _f (x) = f(x + ) - f(x - ) là jump của f tại x. Khi đó chỉ cần chú ý
M = \left\{ {x \in [a,b]:\Delta _f (x) > 0} \right\} = \bigcup\limits_{k = 1}^\infty  {M_k }  = \bigcup\limits_{k = 1}^\infty  {\left\{ {x \in [a,b]:\Delta _f (x) \ge 1/k} \right\}}
Sau đó ta chỉ cấn chứng minh M_k  = \left\{ {x \in [a,b]:\Delta _f (x) \ge 1/k} \right\} hữu hạn thì bài toán kết thúc. Để chứng minh điều này ta chú ý đến tính chất của jump...
ii) Bài toán này có vẻ rối rắm hơn chút nhưng ta có thể chuyển bài toán đến bài toán sau: với mỗi \varepsilon>0 ta xét tập E là tập các điểm thoả
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sup \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} > \varepsilon
Ta cần chứng minh \mu (E) = 0
 
kokichi
 Cảm ơn king rất nhiều !!! Smile
Câu i) là một classical idea để chứng minh the set is countable. Mình chỉ góp ý môt chút: tính chất increasing của f cần thiết để chứng minh tập M_k hữu hạn. Discontinuous points \Delta f(x) >0 người ta gọi là jump points.
Nếu thay đổi tính chất của hàm f là decreasing thì discontinuous points được gọi là shock points.
ii) Điều vua đưa ra là ý tưởng cơ bản để chứng minh hàm khá vi hấu khắp nơi (Thêm chút định lý Rademacher Theorem: hàm số lipschitz khả vi hầu khắp nơi và the proof cũng based on ý tưởng vua đưa ra). Nhưng để process ý tưởng đó mình nghĩ còn dài. Nếu có thể được vua có thể nêu the sketch of proof cho mọi người xem.
Mục đích chính của bài này mình cố gắng hoàn thành nền tảng cơ bản của BV function trong không gian một chiều ( Mình đang học nó mà Grin). Những cái mà xa quá với định hướng mình cũng welcome nhưng mình sẽ put nó vào tham khảo nha.
PS: King đừng gọi mình bằng anh nha ... mình nhỏ lắm sặc Sad
Sửa bởi kokichi vào lúc 12-06-2009 13:14
 
vualangbat
 PS: King đừng gọi mình bằng anh nha ... mình nhỏ lắm sặc Sad
Anh nhỏ lắm thế em còn nhỏ hơn hihi.
Cái câu ii) thì đúng là khá khó, với trường hợp hàm f liên tục thì chúng ta cũng đã biết rồi. Còn trong trường hợp tổng quát có lẽ theo ý em chắc mình phải thông qua cái jump function.
vì ta biết jump function là hàm differentiable almost everywhere.
Không biết ý anh kokichi và mọi người sao nhỉ.
 
NguyenNgoc
 File dưới là lời giải của bài toán này, mọi người xem nhé.
NguyenNgoc đính kèm tệp sao:
cau2.pdf
=======
 
vualangbat
 Cám ơn anh Ngọc bài giải rất rõ ràng, cách này xem ra khá đơn giản nhưng cũng thấy khá dài.
Không biết ý anh kokichi và các anh khác có đường nào khác không nhỉ.
Cũng có đọc một lời giải ở cuốn Basic Real Analysis của Anthony W. Knapp nhưng vẫn thấy lùng bùng quá.

 
kokichi
 Dang o xa !!! Nen khong tiep may ban duoc. Co gi minh ve roi gap sau nha.
@NguyenNgoc: Co the giup moi nguoi tiep can loi giai cua van de thi cang tot. Ban co the noi ro huong di cho moi nguoi. Diem nao quan trong trong loi giai. Thank ban.
Chao moi nguoi,
 
NguyenNgoc
 Mình gửi thêm một file này sẽ làm lời giải rõ hơn!
NguyenNgoc đính kèm tệp sao:
bosung.pdf
Sửa bởi NguyenNgoc vào lúc 19-06-2009 12:22
=======
 
umf
 Hi vọng anh kokichi hay anh nào cho các phân tích cho bài giải nhit, thấy lùng bùng quá.
 
NguyenNgoc
 Xin lỗi mình gửi nhầm file. Mình gửi lại!
NguyenNgoc đính kèm tệp sao:
bosung_1.pdf
=======
 
kokichi
 Để mọi người tiện theo dõi, mình sẽ đọc từng bước lời giải của Ngọc:
Đây là định nghĩa mà Ngọc muốn dùng trong bài này:
D^{+}f(x)=limsup_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
D^{-}f(x)=liminf_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
( Thông thường một số người vẫn dùng kí hiệu đó để định nghĩa Sub và Super Gradient của hàm số, và nó hoàn toàn khác với định nghĩa của Ngọc dùng ở đây. Nó là những tập hợp).
Trong chứng minh của Ngọc:
Bạn có thể nêu lại định nghĩa của
- "Outer finite measure" ?
Với lại bạn có thể giải thích chỗ này:
"Let O be an open set such that E_{u,v}\subseteq O and m(O) < s+\varepsilon".
Cảm ơn Ngọc.
 
NguyenNgoc

kokichi viết rằng:
Để mọi người tiện theo dõi, mình sẽ đọc từng bước lời giải của Ngọc:
Đây là định nghĩa mà Ngọc muốn dùng trong bài này:
D^{+}f(x)=limsup_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
D^{-}f(x)=liminf_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
( Thông thường một số người vẫn dùng kí hiệu đó để định nghĩa Sub và Super Gradient của hàm số, và nó hoàn toàn khác với định nghĩa của Ngọc dùng ở đây. Nó là những tập hợp).
Trong chứng minh của Ngọc:
Bạn có thể nêu lại định nghĩa của
- "Outer finite measure" ?
Với lại bạn có thể giải thích chỗ này:
"Let O be an open set such that E_{u,v}\subseteq O and m(O) < s+\varepsilon".
Cảm ơn Ngọc.


Dạ ok anh kokichi! À mà anh đừng khách sáo thế!

Về cái outer measure trên R thì có thể hiểu như sau:
Lebesgue outer measure trên R, được kí hiệu bởi m^*, được xác định như sau. Giả sử E là tập hợp tất cả các khoảng mở bị chặn (kể cả tập rỗng), và đối với mỗi khoảng (a,b) trong E ta viết l(a,b)=b-a là độ dài của khoảng (a,b) . Với mỗi tập con A của R ta xác định
m^* (A) = \inf \left\{ {\left. {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {l(E_n )} } \right|E_n  \in E,A \subseteq \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {E_n } } \right\}

Như thế, từ định nghĩa của outer measure có thể giải thích cho sự tồn tại tập O. Vì ta chú ý rằng, hợp một họ tùy ý tập mở là một tập mở.
=======
 
kokichi
 Chào Ngọc,
Cảm ơn câu trả lời của bạn.
Định nghĩa của outer measure mình cũng chưa rõ lắm. Tập hợp đo được của bạn là gì ??? Với mọi tập con A trong R đều là tập đo được với outer measure hả bạn ?
Bạn lấy tập hợp số hữu tỷ E_{u,v}=Q trong R, thì tập O của bạn như thế nào ?
Bạn suy nghĩ thử nha !!!
Sửa bởi kokichi vào lúc 22-06-2009 10:40
 
NguyenNgoc
 Dạ nói chung thì outer measure không phải là một measure. Do đó không có khái niệm đo được theo cái này (hoặc là chưa thấy). Nó xem như là một hàm mở rộng của measure trên   \sigma - algebra. Em gọi   \sigma - algebra thằng này là F đi. Nói chung đối với định nghĩa tổng quát cho cái outer measure thì chỉ thay các khoảng trên R bằng các tập đo được và độ dài thay bằng độ đo.
m^* (A) = \inf \left\{ {\left. {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {m(E_n )} } \right|E_n  \in F,A \subseteq \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {E_n } } \right\}


Như thế ta có một số tính chất sau:
1)  m^*(A)=m(A) nếu  A \in F
2)  m ^*(A) \ge 0 m^*( \emptyset)=0.

Đối với lời giải em gửi ở trên thì thực ra chỉ làm trong đoạn hữu hạn [a,b].

Còn cái ví dụ sau của anh thì em suy nghĩ đã. Bây giờ phải đi làm giấy tờ, bọn tàu nó đứng chờ nghẹt cửa rồi. Huhu.
=======
 
kokichi
 Chào Ngọc,
Out measure không phải là measure thì bạn xem lại thử nha. Con cái \sigma-algebra F là cái gì ??? Bạn cũng nên xem lại nha bạn.
Nếu bạn muốn biết thêm về cái này, bạn thử tìm xem định nghĩa \pi-system, d-system và một số kết quá liên quan đến cái đó. Để xem người ta định nghĩa \sigma -algebra F.
Còn cái tập mình đưa ra thì bạn cũng nên xem lại để hiểu thêm cái E_{u,v} có cấu trúc như thế nào nha bạn.
Một số mình hiểu rõ thì nói cho mọi người cùng học. Còn nếu chưa biết chính xác cho lắm thì bạn nên (chú thích một số điều). Theo mình thì cái Measure Theory ko dễ cho lắm để thật sự hiểu.
Đó là số điều góp ý của mình.
Hi vọng sẽ cùng bạn đọc hết lời giải mà bạn đưa ra để làm rõ thêm môt số vấn đề.
Cảm ơn bạn nhiều.
PS: Đừng có gọi bằng anh hic Sad, mình nhỏ lắm.
Lần sau đi đâu có mấy tên Tàu nhớ mang theo súng !!! Shock !!! Hoặc đem theo lựu đạn cũng được.
Sửa bởi kokichi vào lúc 22-06-2009 14:51
 
NguyenNgoc
 Anh kokichi xem lại chứ! Chứ cái outer measure nói chung không phải là một measure (theo giáo trình em được học). Còn cái  \sigma - algebra thì có gì đâu anh. Em chỉ định nghĩa outer measure nói chung trên không gian độ do (E,F). Còn   \pi - systemd-system thì em không được rõ. Anh có tài liệu gì cho cái này thì giới thiệu cho em với. Đối với outer measure ta còn có tính chất m(A) \le m^*(A). Do đó trong bài cần chứng minh m(E_{u,v})=0 ta chuyển qua chứng minh m^*(E_{u,v})=0)

À! Em vẫn gọi bằng anh thế vì em còn nhỏ hơn!
Sửa bởi NguyenNgoc vào lúc 22-06-2009 15:30
=======
 
kokichi
 Em định nghĩa Measure là gì ? Mấy cái tập hợp em làm E_{u,v} có thuộc trong F ko mà em đo ? Theo anh thì ít nhất mình cũng phải biết cấu trúc của cai \sigma-algebra của nó chứ em.
Em tìm cái tập O cho cái khẳng định của mình trong trường hợp E_{u,v}=Q, xem nó có đúng chưa em?
Về \pi-system, d-system ở đây chắc nhiều người biết. Tài liệu khác nhau không có nghĩa là khác nhau về cái chốt của vấn đề. Em tự tìm để giải thích cho mấy cái điều mình chưa rõ đi. Nếu thật sư không tìm được thì anh sẽ thử tìm hộ em.
Em có thể tìm về cái này để đọc Carathéodory construction và quen thuộc nữa là xem người ta theo hướng này định nghĩa của Lebesgue Measure. Nếu em có thời gian thì xem qua Hausdorff Measure, người ta xậy dựng cái ý tưởng của outer measure để construct. Vài lời góp ý cho em.
PS: Em xem kĩ mọi thứ rồi comment. Anh ko có thời gian để xem lại và trả lời cho em nhiều.
Chúc mọi người vui vẻ.
Sửa bởi kokichi vào lúc 22-06-2009 16:37
 
NguyenNgoc
 Có lẽ anh em mình không hiểu nhau một chút. Em sẽ phân tích một số ý. Thực ra em cũng muốn học hỏi thêm về lý thuyết độ đo. Đúng là nó quá rối rắm.

1) Như em nói ở trên, cái file trên chỉ chứng minh trong đoạn [a,b]
2) Anh hỏi "Outer finite measure" ? thì ở trên em đưa ra định nghĩa. Chỉ đơn giản vậy thôi.
3) "Out measure không phải là measure thì bạn xem lại thử nha", nếu theo định nghĩa của em được biết thì độ đo có tính chất cộng tính còn cái outer thì chưa hẳn.
4) Còn cái cấu trúc  \sigma- đại số đó có thể hiểu là  \sigma - đại số bổ sung.
5) Nếu anh lấy vị dụ của là tập Q thì tập O của em sẽ là R.
6) Chứng minh này không phải của em, của một ông Thái Lan nào đó, em đưa lên cũng chỉ có ý để mọi người trao đổi. Em xin lỗi vì không ghi chú các file này. Không biết chứng minh của anh ra sao?
Sửa bởi NguyenNgoc vào lúc 22-06-2009 20:16
=======
 
kokichi
 Dear Ngọc
Em có thời gian thì đọc lại người ta định nghĩa outer measure để làm gì nha em. Sau đó người ta định nghĩa cái \sigma-algebra như thế nào. Em thử check xem trên cái \sigma-algebra nó co phải là measure không ?
Tập OR, thì cái điều em nói còn đúng không ? Nên tập E_{u,v} có cấu trúc đặc biệt như thế nào ?
Ai cũng học hết em, ko vấn đề gì. Mình hiểu không thấu vấn đề ko là chuyện bình thường nhưng phải có một sư đầu tư nhất định khi mình post lời giải lên. Anh nghĩ diễn đàn này rất nhiều bạn bè và người giỏi, nên chắc không đơn thuần cần lời giải đâu.
Hi vọng em anh và mọi người cùng đi hết mục đích chính của cái topic này. ( Mình tạm ngừng vài ngày vì một số công việc). Trong thời gian đó mọi người cùng Ngọc để giải quyết vấn đề thì quá tốt.
Cảm ơn em rất nhiều. Chúc mọi người vui vẻ.
 
NguyenNgoc
 Ok anh! Nhưng thực anh vẫn chưa quan tâm đến ý kiến của em lắm. Em nghĩ vậy. Em chờ lời giải của anh.
=======
 
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
phamquangtoan
» Sự trăn trở ...
phamquangtoan
» Vì sao học sin...
phamquangtoan
» Cần học hỏ...
Vnkvant
» "Làm toán" là ...
obay
» Bắt đầu nghi...
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tư _17...
Vnkvant
» Vai trò của to...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box và h...
Search MathBooks
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 400.000 đầu sách điện tử ngành Toán và các khoa học khác bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài liệu hoặc tạp chí chuyên ngành Toán với mục đích phi thương mại, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn vào đây


Facebook
Shoutbox
You must login to post a message.

18/08/2013 05:31
Diễn đàn mình nhiều bài hay và chất lượng quá. Em mong diễn đàn ta cứ tồn tại mãi để chúng em còn được tiếp cận với các tài liệu do các anh viết. Smile

16/08/2013 17:50
Nhưng các bài chất lượng thì vẫn còn đây!

25/07/2013 16:51
Sad diễn đàn ít có hoạt động nhỉ?

23/07/2013 07:06
Kvant, Vualangbat, Hoa dai, Nguyen Ngoc...

20/07/2013 08:20
Các Admin có những ai anh nhỉ ??

18/07/2013 20:26
e cứ đợi các admins tụ tập lại 1 lần thảo luận đã, giờ admins trốn hết rồi

11/07/2013 07:16
Bây giờ làm thế nào để diễn đàn được như trước nhỉ ??

02/06/2013 08:20
nhưng chưa có chiều sâu, vì các admin chủ lực đang bận bịu gì đó và ko có liên lạc lẫn nhau.

31/05/2013 07:00
Phải nói là trong số các diễn đàn toán thì em thấy diễn đàn ta là đẹp nhất. Wink

04/03/2013 14:16
thi Toán đơn giản mà. E cần dịch gì a dịch cho, qui đổi theo bài theo thời gian khoảng 2-3 tháng e đọc hiểu và đóan vô tư.

02/03/2013 19:10
Thuê thế nào anh ?? Grin

22/02/2013 13:11
Can thue nguoi ko a day cho) Khoang 3 thang la doc dich duoc

22/02/2013 06:47
Nhìn mà thèm học Tiếng Nga Smile

05/02/2013 20:05
Quet' nha chuan bi don tet

28/01/2013 06:08
Tuan Anh, sao kho' du vay la sao e?

Advertisement
Render time: 0.29 seconds 4,981,404 lượt ghé thăm