October 20 2013 13:09:58
Các trang chính
· Trang Nhất
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Diễn đàn
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· Thư viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds
MathWorld
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học từ MathWorld bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới

Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



Thư viện Sách
· Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, Volume 2)
· Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1)
· Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis, Volu
· Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis
· Problems in Calculus of One Variable
· Théorie des probabilités : problèmes et solutions
· Exercices sur les fonctions analytiques
· Probabilité : Exercices corrigés
· Exercices d'algèbre
· Abel's Theorem in Problems and Solutions
· Stochastic Process: Problems and Solutions
· Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions
· Statistics: Problems and Solutions
· Student Solutions Manual to accompany Complex Variables and Applications
· Complex Variables and Applications
· Problems in Group Theory
· Complex Analysis through Examples and Exercises
· Exercises in Classical Ring Theory
· Exercises in Basic Ring Theory
· Algebra Through Practice: Rings, Fields and Modules - A Collection of Problems in Algebra with Solut
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
· Đề ra kì này Số 05-2001
· Đề ra kì này Số 04-2001
· Đề ra kì này Số 2-2007
· Đề ra kì này Số 3-2001
· Đề ra kì này Số 2-2001
· Đề ra kì này Số 1-2001
· Đề ra kì này Số 2-2008
· Đề ra kì này Số 1-2008
· Đề ra kì này Số 1-2007
· Đề ra kì này Số 6-2000

Trực tuyến
phamquangtoan00:18:01
quangphu02:27:31
tnkh20:45:03
vulalach23:42:37
hungkg 2 days
namnh211 2 days
conanhero 2 days
vietmath 3 days
adam2 3 days
henry0905 4 days
kmath93 5 days
thuanquai 6 days
Vnkvant 6 days
daogiauvang 1 week
dinhcu_pro 1 week
0917317099 2 weeks
lovemath213 2 weeks
nguyentatthu 2 weeks
pminhquy 3 weeks
kimlinh 3 weeks
nguoithanbi123 3 weeks
hunghd8 3 weeks
nhatquangsin 5 weeks
pvthuan 5 weeks
ninza loan thi 5 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 1

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,510
· Thành viên mới nhất: headache
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Chứng minh BĐT
· Nhờ download bài ...
· Tìm số nguyên d�...
· VMO 2004
· Đào tạo thi họ...
· Tìm số nguyên d�...
· Giải phương trì...
· Nhờ download bài ...
· Dịch sang TV bài ...
· Giải phương trình
· Một bổ đề qua...
· Tìm p,q
· Thử thách toán h...
· Một số định l...
· AMM Vol 02/ 1895
· USSR Mathematical Ol...
· Mathematical Olympia...
· Australian Mathemati...
· AMM Vol 01/ 1894
· Bí quyết làm ch�...
· Bí quyết để c�...
· Kinh nghiệm du h�...
· Chứng minh tồn t...
· Chứng minh tài ch...
· Đề thi IMO 2013
· Giải phương trì...
· Tìm nghiệm nguyê...
· Số 4-2000
· Một quỹ hỗ tr�...
· Đề số 03-2008
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download b�... [333]
· Nhờ download b�... [141]
· Problem Of The Mo... [85]
· Vài bài tập c... [85]
· Những định l... [80]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tuyển... [47]
· Thông tin và Th... [40]
· Tính giới hạn [38]
· Các bạn thi ol... [38]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Problem of Washin... [37]
· Problems of Purdu... [37]
· Olympic Sinh viê... [35]
· Ôn tập môn Gi... [34]
· PT vi phân [32]
· Thử thách toá... [31]
· Olympic SV Kiev [31]
· Ôn tập môn Đ... [31]
· Đóng góp cho c... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Mùa hè nóng qu... [28]
· Cập nhật Tạ... [28]
· Tuyển tập 40 ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Số Pi và nhữ... [26]
· Đăng ký tham g... [26]
· Bất đẳng thức [25]
· Phương pháp Mo... [25]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· College Mathemati... [24]
· Tìm nghiệm c�... [24]
· Một câu xác s... [24]
· Collected inequal... [23]
· Tích phân hay [23]
· Chuyển công th... [22]
· Kì Thi Olympic T... [22]
· Bài tập về k... [22]
· Mathematics Magazine [21]
· Olimpiad Toán Đ... [21]
· Phương trình h... [21]
· Phương trình h... [20]
· Tặng daogiauvan... [19]
· Tài khoản MAA ... [19]
· Phép biến đ�... [19]
· Journal Мате�... [19]
· Olympic Sinh viê... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
· Chú ý: THÁNG H... [19]
Xem chủ đề
Cộng Đồng Học sinh - Sinh viên yêu Toán Việt Nam » For Advanced Undergraduate and Graduate Students » Thảo luận
 In chủ đề
Korner's construction of a Besicovitch set
hoadai
 Các bạn thân mến,

Tôi mới tham gia diễn đàn này, nhưng rất ấn tượng về sự say mê Toán của các thành viên ở đây. Tuy nhiên tôi cảm thấy tiếc là các bạn dành rất nhiều thời gian để giải các bài toán "kiểu olympic" trên MM, Crus, ect. Tất nhiên những bài toán đó là thú vị, nhưng chỉ ở 1 mức độ nào đó (có lẽ dành cho sinh viên năm 1 trở xuống), còn những bạn đã sắp tốt nghiệp đại học, và đặc biệt là những người có ý định học tiếp về Toán sau này, thì đó là 1 sự lãng phí thời gian đáng kể.

Tôi hi vọng các bạn nếu có thời gian, nên quan tâm đến những bài Toán "thực sự" hơn. Để khởi động, tôi xin mở 1 "seminar" nhỏ ở đây (tất nhiên, trên 1 diễn đàn thì không nên làm cái gì quá serious), trong đó hi vọng sẽ giúp các bạn đọc hiểu 1 bài báo của Terence Tao và giới thiệu về 1 số bài toán liên quan. Các bạn hoàn toàn theo dõi được nếu có kiến thức cơ bản về Lý thuyết độ đo và Giải tích hàm.

Năm 1917, Kakeya nêu ra bài toán "cây kim":
"Kakeya needle problem": what is the minimum area of a region D in the plane, in which a needle can be turned through 360° continuously.

Năm 1928, Besicovitch trả lời câu hỏi này bằng 1 kết quả hết sức kinh ngạc: miền D có thể chọn có độ đo nhỏ tùy ý (mà vẫn cho phép quay 1 cây kim độ dài 1 đủ 1 vòng 360° một cách liên tục). Hơn thế, ông chứng minh là nếu bỏ đi điều kiện "phải quay liên tục" thì tập D có thể chọn để có độ đo 0. Nói cách khác, ông chỉ ra sự tồn tại của 1 tập Besicovitch trong mặt phẳng, tức là các tập compact, có độ đo 0, nhưng chứa một đoạn thẳng độ dài đơn vị theo mọi hướng.

Kết quả này mở đầu cho 1 họ các "Kakeya conjecture" mà hiện nay vẫn đang là bài toán mở thu hút một số nhà Toán học hàng đầu. Một trong những giả thuyết đó là: một tập Besicovitch trong R^n phải có độ đo Hausdorff và độ đo Minkowski bằng n (mặc dù độ đo Lebesgue của nó có thể bằng 0). Các bạn có thể xem thêm một số (thật ra là rất nhiều) thông tin ở đây
http://www.math.u...akeya.html

Có lẽ thích hợp với chúng ta ở đây là tìm hiểu xem một tập Besicovitch có thể xây dựng như thế nào. Một trong những cách xây dựng truyền thống là dựa vào Peron's tree, các bạn có thể xem phác thảo ở đây
http://en.wikiped...Kakeya_set
Năm 2003, Korner giới thiệu một cách xây dựng mới cho các tập Besicovitch, rất đẹp, và chỉ ra rằng: có rất nhiều tập Besicovitch như vậy ("rất nhiều" theo 1 nghĩa mà ta sẽ tìm hiểu sau). Trong topic này hi vọng chúng ta sẽ thảo luận một số chi tiết trong cách xây dựng của Korner. Vì bài báo gốc của ông khá dài, chúng ta sẽ theo một chứng minh được viết lại bởi Terence Tao (có phần sáng sủa hơn).
hoadai đính kèm tệp sao:
korner_construction_of_a_besicovitch_set.pdf
Sửa bởi hoadai vào lúc 11-06-2009 17:55
 
hoadai
 Trong tuần đầu tiên chúng ta sẽ đọc trang đầu tiên của bài báo.

Định nghĩa: [Essential range] Cho hàm số f:[0,1]\to \mathbb{R} đo được. Ta định nghĩa essential range là tập hợp các điểm y sao cho tập hợp f^{-1}((y-\epsilon,y+\epsilon)) có độ đo >0 với mọi \epsilon>0.

Có thể thấy rằng vì f đo được nên các tập f^{-1}((y-\epsilon,y+\epsilon)) đều đo được. Ngoài ra, hi vọng các bạn có thể tự kiểm tra rằng: R(f) đóng, và không thay đổi nếu ta thay đổi f trên 1 tập có độ đo 0. Hơn nữa f\in L^\infty([0, 1]) nếu và chỉ nếu R(f) bị chặn.

Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết 2 khẳng định sau (đây là các bài tập tương đối khó, nhưng rất thú vị, nhất là câu 1):

Bài tập 1. f(x) \in R(f) với hầu hết x\in [0,1].

Bài tập 2. Nếu g\in L^\infty([0,1]) thì
R(f + g) \subset R(f) + [-||g||_\infty, ||g||_\infty].

Sửa bởi hoadai vào lúc 07-06-2009 09:23
 
Calderon
 Viết một tí hưởng ứng bạn hoadai cái nhể.

Theo tôi hiểu thì ý nghĩa của bài toán cây kim có motivated theo hướng nảy sinh các bài toán lý thú và nhiều trong số chúng chưa có câu trả lời trong Giải tích Fourier cổ điển. Đầu tiên là việc xuất hiện các tập kì quái Nikodym năm 1927, khi ông này xây dựng ra các tập dầy có phần bủ rất mỏng: Một tập con của hình vuông đơn vị trong mp được gọi là tập Nikodym nếu như nó có độ đo là 1 (full luôn) nhưng với mỗi điểm x của N luôn tồn tại một đường thẳng cắt N tại đúng điểm x duy nhất. Không lâu sau đó Zygmund từ đó đã nhận ra rằng cơ sở biến thực các hình chữ nhật của mặt phẳng là rất tồi khi thậm chí các hàm đặc trưng của các tập đo được cũng không thể đạo hàm bởi cơ sở các hình chữ nhật.

Bài toán cây kim do một người Nhật tên là Kakeya trước đó 10 năm như bạn hoadai đã viết. Trên thực tế vào năm 1918, Besicovitch không có ý định giải bài toán Kakeya mà định giải bài toán liên quan đến tích phân Riemann: Nếu f là một hàm khả tích Riemann trong mặt phẳng thì có thể quay được hệ thống trục tọa độ đến hệ tọa độ mới hay không để ta nhận được kết quả là với mỗi x thì f(.,y) khả tích R và với mỗi y thì \int f(x,.)dx cũng khả tích R. Để làm điều này Besicovitch đề xuất ra 1 loại tập "rất rất" mỏng (gọi là tập Besicovitch như bạn hoadai giải thích ở trên). Từ đó bài toán trên có câu trả lời là phủ định: tồn tại một hàm f mà không thể làm như trên được.

Đến năm 1928 thì người ta nhận ra rằng tập Besicovitch cũng cho ta lời giải của bài toán cây kim, infimum của các diện tích có thể bằng zero.

Để xây dựng các tập B, cách truyền thống là dựa trên cây Perron như Rademacher đã làm. Bổ đề của C. Fefferman (Field medal) nhằm giải quyết bài toán Multiplier cho hình cầu. Những tập mỏng như tập Besicovitch có ảnh hưởng rất lớn đến cấu trúc hình học của hệ cơ sở tất cả các hình chữ nhật.

Câu hỏi tự nhiên trong không gian nhiều chiều hoặc trên các trường rời rạc địa phương. Ví dụ như nghiên cứu tính mỏng với câu hỏi độ đo Hausdorff của nó là bao nhiêu. Trong n=1,2 thì người ta thấy nó bằng n, còn với trường hợp tổng quát thì chưa biết...
Sửa bởi Calderon vào lúc 07-06-2009 11:23
 
namdung
 Hay quá, diễn đàn mình ngày càng nghiêm túc. Có thêm hoadai và Calderon nữa thì quá vui rồi. Hy vọng là sẽ có thêm nhiều bài viết hay như thế nữa. Tuy nhiên, nâng cao dân trí cũng cần làm từ từ. Phải bắt đầu từ những cái cơ bản và quan trọng nhất là phải làm cho các bạn SV, HS thích. Thích rồi thì everything 's OK.
Ksipizeta
 
luan_dragon93
 bài toán cây kim em được biết qua toán học tap trí tóa học tuổi trẻ nhưng chỉ là giới thiệu chung chung thôi
vả lại em không hiểu được toán học cao siêu này đâu mới lớp 10 khi nào đủ trình em sẽ tham gia nhiệt tình
chúc anh (hay thầy em ko bết) thành công với ý định nàyFrown
mãi mãi và chỉ một
 
luandragon93
hoadai
 Cảm ơn sự ủng hộ của thầy Nam Dũng và các bạn, đặc biệt bạn Calderon đã giới thiệu thêm về nguồn gốc của bài toán. Đúng như bạn Calderon nói, thật ra năm 1918 Besivovitch tiếp cận bài toán này một cách độc lập (ông không biết gì về bài toán của Kakeya), mà ông xuất phát từ câu hỏi về 'Fubini" cho tích phân Riemann.

Thực sự thì Besicovitch có lời giải ngay năm 1919 và công bố năm 1920 trong 1 bài báo bằng tiếng Nga nhưng do tình hình bất ổn của nước Nga lúc bấy giờ nên kết quả này không được biết đến rộng rãi, mãi cho tới khi tờ Mathematische Zeitschrift công bố lại năm 1928. Thật ra thì chứng minh ban đầu của Besicovitch khá phức tạp, sau đó đã có chứng minh đơn giản hơn của chính ông và Perron. Chứng minh này gần như chỉ dựa vào hình học phẳng và có thể hiểu được với học sinh phổ thông. Tuy nhiên vì thời gian có hạn nên trong topic này tôi chỉ hi vọng tập trung vào phần xây dựng của Korner qua bài báo của T.Tao. Các vấn đề khác, bao gồm chứng minh bằng hình học phẳng, tôi dự định sẽ viết thành 1 bài cho tạp chí MathVN, với tiêu đề "Nhốt một con voi vào tủ lạnh" Grin

Tôi gửi kèm bài báo của chính Besicovitch về bài toán này, đăng trên AMM năm 1963. Có một chi tiết thú vị là trong thời gian đó, truyền thông Mỹ có làm 1 bộ phim về bài toán Kakeya, một điều rất hiếm đối với một bài toán thuần túy, có lẽ, tôi đoán, là vì tính đơn giản và đẹp đẽ của nó.

Anyway, phần chém gió vậy là nhiều roài Smile Hi vọng các post sắp tới các bạn sẽ giải quyết 2 bài tập phía trên, trước khi chúng ta tiếp tục đi qua trang thứ 2 của bài báo. Nếu có vấn đề gì khác trong bài báo mà không hiểu, các bạn có thể post lên đây để thảo luận.
hoadai đính kèm tệp sao:
besicovitch_the_kakeya_problem_a.pdf
Sửa bởi hoadai vào lúc 07-06-2009 20:13
 
cuber
 Chào anh hoadai. Với bài 1 em nghĩ như thế này:
Vì f là hàm đo được nên theo định lý Luzin tồn tại hàm g(x) liên tục trên đoạn [0,1] và sai khác so với f(x) trên 1 tập có độ đo bằng 0 (gọi tập này là A). Xét x thuộc [0,1]\A, lúc này f(x)=g(x). Do tính liên tục nên tập g^{-1}(g(x)-\epsilon,g(x)+\epsilon) là tập mở với độ đo dương và chỉ sai khác so với tập f^{-1}(f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon) bởi 1 tập có độ đo 0. Từ đó suy ra kết luận của bài toán.
http://maplevn200...dpress.com
 
vualangbat
 Ta cũng có kết quả chúng cho bài 1 là
Cho E là tập đo được và \mu (E) \ne 0 thì khi đó R_E (f) \cap f(E) \ne \emptyset và đặc biệt là \left\{ {x \in E,f(x) \notin R_E (f)} \right\} là một tập hợp rỗng trong E.
Có một câu hỏi là cho hai tập E,F cho trước liệu có thể chọn f để đồng thời xảy ra f(E) \subseteq R_E (f)f(F) \subseteq R_F (f)
Với câu 2 thì ta có một chú ý nhỏ g \in L^\infty thì \left\| g \right\|_\infty   = \sup \left\{ {\left| \lambda  \right|:\lambda  \in R(g)} \right\}.
 
hoadai

cuber viết rằng:
Vì f là hàm đo được nên theo định lý Luzin tồn tại hàm g(x) liên tục trên đoạn [0,1] và sai khác so với f(x) trên 1 tập có độ đo bằng 0 (gọi tập này là A).

Cuber xem lại định lý Lusin nhe, định lý đó chỉ nói là tập A có độ đo nhỏ tùy ý, nhưng không chắc A có độ đo 0 (điểm này rất quan trọng, vì có những hàm đo được mà không có hàm liên tục trong lớp tương đương của nó).

vualangbat viết rằng:
Ta cũng có kết quả chúng cho bài 1 là
Cho E là tập đo được và \mu (E) \ne 0 thì khi đó R_E (f) \cap f(E) \ne \emptyset và đặc biệt là \left\{ {x \in E,f(x) \notin R_E (f)} \right\} là một tập hợp rỗng trong E.

Ký hiệu R_E của bạn Vua là gì vậy?

hoadai viết rằng:
R(f) đóng, và không thay đổi nếu ta thay đổi f trên 1 tập có độ đo 0. Hơn nữa f\in L^\infty([0, 1]) nếu và chỉ nếu R(f) bị chặn.

Đoạn này tôi hi vọng các bạn có thể tự kiểm tra được. Tuy nhiên có lẽ tốt hơn nếu chúng ta thảo luận nó luôn. Vậy xin phép thêm 1 bài tập nữa.
Bài tập 0. Chứng minh rằng R(f) đóng, và R(f) không thay đổi nếu ta thay đổi f trên 1 tập có độ đo 0.

Bài này dễ hơn, hi vọng các bạn có thể giải trước. Khẳng định còn lại, rằng f\in L^\infty([0, 1]) nếu và chỉ nếu R(f) bị chặn là hệ quả của Bài tập 1 và Bài tập 2 (sử dụng Bài tập 1 thì suy ra nếu R(f) bị chặn ta có f bị chặn (a.e.), mặt khác nếu f bị chặn (a.e) thì sử dụng Bài tập 2 (với (f,g)=(0,f)) suy ra R(f)\subset [-||f||_\infty, ||f||_\infty] bị chặn).

Đề nghị các bạn viết lời giải một cách đầy đủ để mọi người dễ theo dõi, và tránh nêu những mệnh đề không well-known mà ko có chứng minh (hoặc trích dẫn).
Sửa bởi hoadai vào lúc 08-06-2009 06:43
 
vualangbat
 Tập E ở đây coi như là tập [0,1] ở trên. Kí hiệu R_E (f) có định nghĩa tương tự như trên, nếu E là một tập đo được, thì essential range của f trên E kí hiệu là R_E (f) bao gồm tất cả các giá trị \lambda sao cho tập \left\{ {x \in X:\left| {f(x) - \lambda } \right| < \varepsilon } \right\} có độ đo dương với mọi \varepsilon  > 0
Về vấn đề R(f) đóng thì ta có thể thấy dễ dàng giả sử \lambda _0  \notin R(f) thì sẽ tồn tại \varepsilon  > 0 sao cho \left\{ {x \in E:\left| {f(x) - \lambda _0 } \right| < \varepsilon } \right\} có độ đo 0. Ta có với mỗi \lambda trong quả cầu mở B(\lambda _0 ,\varepsilon ) đều không thuộc vào R(f). Từ đó ta thấy phần bù của R(f) mở nên R(f) đóng.
Sửa bởi vualangbat vào lúc 08-06-2009 09:35
 
hoadai
 Good! Bạn Vua đã chứng tỏ R(f) là tập đóng. Trong phần còn lại của Bài tập 0, chúng ta cũng dễ dàng check được là R(f) không đổi nếu ta thay đổi f trên 1 tập có độ đo 0, vì với mỗi số thực y và với mỗi \epsilon>0 thì độ đo của tập hợp
f^{-1}((y-\epsilon,y+\epsilon))=\{x\in [0,1]:  \left| {f(x) - y } \right| < \epsilon \}

không đổi nếu ta thay đổi f trên 1 tập có độ đo 0.

Bây giờ tới hai bài tập 1 và 2. Các bạn nên viết ra lời giải cụ thể đẻ tránh sai sót. Chẳng hạn ở đây
vualangbat viết rằng:
Ta cũng có kết quả chúng cho bài 1 là
Cho E là tập đo được và \mu (E) \ne 0 thì khi đó R_E (f) \cap f(E) \ne \emptyset và đặc biệt là \left\{ {x \in E,f(x) \notin R_E (f)} \right\} là một tập hợp rỗng trong E.

khẳng định của bạn Vua rằng f(x)\in R(f) với mọi x\in [0,1] là không chính xác.
Sửa bởi hoadai vào lúc 10-06-2009 18:22
 
deva
 @hoadai: em có biết qua về một số tập hợp dạng kì lạ này cũng như các tập hợp Fractal với những tính chất khá kì lạ, em ko học toán nhiều chỉ làm về tin nhưng thấy nó khá là ngẫu hứng và đẹp. Không biết anh hoadai biết trang nào có mấy cái hình về Besicovitch set ko ạ.
À với em hỏi câu hơi bậy là cái essential range còn có tính chất gì nữa không, ngày xưa em cũng có học giải tích hàm mà chả thấy có khái niệm này.
Và quan hệ
R(f + g) \subseteq R(f) + R(g) đúng hay sai với g \in L^\infty

meochuot
 
hoadai
 To deva: Về hình thì anh cũng không biết nhiều, tuy nhiên em có thể xem một số tài liệu bên trên như trên trang wiki về Kakeya problem hoặc bài báo của Besicovitch. Ngoài ra, ở đây có vẽ hình Besicovitch set xây dựng bằng Perron's tree (chạy bằng Java)
http://www.math.u...vitch.html
Về essential range thì anh cũng mới biết lần đầu khi đọc bài này (thật ra do background ko tốt Grin chứ ko phải nó ko well-known vì khái niệm này có trong sách của Rudin)

Bao hàm thức mà deva dẫn là đúng (nó tổng quát hơn bài tập 2 nhưng chứng minh y hệt). Hi vọng có ai đó giải được bài này (tô đậm đoạn bên dưới nếu cần 1 hướng dẫn).
Hint: Với y thuộc R(f+g) thì tồn tại 1 dãy x_n sao cho f(x_n)+g(x_n)hội tụ về y. Dùng tính đóng của R(f) và tính compact của R(g).


Tôi định gửi các bạn 1 cuốn sách rất hay của Falconer về fratal "Fractal geometry: Mathematical foundations and applications" (cũng có nói về Besicovitch set va Kakeya conjectures) nhưng chưa up được.
Sửa bởi hoadai vào lúc 10-06-2009 11:48
 
kokichi
 Chào mọi người,
Mới vào diễn đàn, mình cảm thấy rất thích.
Vấn đề hoadai đưa ra rất thú vi, mĩnh nghí nó có liên quan rất nhiều đến Geometry Measure Theory, và BV function (Bounded Variational Function).
Có một định lý khá quan trọng (theo mình nghĩ):
Cho hàm số f\in L^1R, ta có:
\lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{1}{2\rho}\int_{x-\rho}^{x+\rho}|f(y)-f(x)|dy=0
cho x hầu khắp nơi.
Ko nhớ chính xác điều kiện của hàm số f Smile
Sửa bởi kokichi vào lúc 10-06-2009 17:57
 
vualangbat

hoadai viết rằng:
Tôi định gửi các bạn 1 cuốn sách rất hay của Falconer về fratal "Fractal geometry: Mathematical foundations and applications" (cũng có nói về Besicovitch set va Kakeya conjectures) nhưng chưa up được.

http://archive03....actalg.rar
Up lên cuốn này thú vị này, cuốn này viết khá nhiều về Hausdorff measure và các vấn đề xung quanh. Có thêm cái cuốn Techniques in Fractal Geometry cũng khá là hay.
Trở lại bài toán gốc của anh hoadai đưa ra, không biết ý anh kokichi đưa ra hệ thức này có liên quan gì không...xem qua trông nó giống cái Lebesgue point. Không biết nó có tác dụng gì trong cái vấn đề ta đang xem xét. Trở lại bài toán số 2 mục đích lúc này ta cần chứng mính cái hệ thức của Deva
R(f + g) \subseteq R(f) + R(g)
Vì nếu cái này ok thì bài 2 của anh hoadai như là hệ quả do ta đã có chú ý ở trên nên
R(g) \subseteq \left\{ { - \left\| g \right\|_\infty  ,\left\| g \right\|_\infty  } \right\}
++R(g) thì lại có tính chất như ta biết là compact và nó bằng spectrum của g.
Hi vọng anh hoadai cho câu trả lời hai cái ý nhỏ này đã nhỉ.
Sửa bởi vualangbat vào lúc 10-06-2009 21:58
 
hoadai
 Định lý mà kokichi post là cơ bản trong giải tích điều hòa, ko biết post vô đây làm gì, đề nghị giải thích nếu ko thì xin mod move ra chỗ khác!

@vua: uh, hệ thức của deva tổng quát hơn bài tập 2 (bên trên anh cũng có nói rồi). Bây giờ hi vọng có bạn nào chứng minh hệ thức này (hoàn toàn không khó, tuy nhiên các bạn có thể xem hướng dẫn nếu cần). Ko biết 2 ý nhỏ mà vua hỏi là gì nhỉ?
 
vualangbat
 em có nhớ đọc đâu đó có 2 tính chất của ess range
R(g) thì lại có tính chất như ta biết là compact và nó bằng spectrum của g.
Không biết đúng không nhỉ?

 
kokichi
 Thật sự điều kiện của hàm số f trong định lý mình đưa ra không chính xác (Các bạn có thể kiểm tra).
Giải tích điều hòa thì mình không rành nhưng mình có đọc một chút ít về Construction of BV functions trong 1 chiều. Cái định lý minh đưa ra trong đó khá quan trọng. Và cách chứng minh của định lý gần như interrelated to Bescovitch covering.
Trong n chiều, định lý này trên (phát biểu khác ), và nó được gọi là Besicovitch Lemma thì phải. Nó dùng để chứng minh sự tồn tài của Degiori outer normal vector hầu khác nơi cho tập hợp finite perimeter sets.
Mình thấy có Besicovitch nên post một số cái có liên quan Besicovitch cho một người đọc thôi. Nếu cảm thấy ko đúng với một đích của vấn đề mà hoadai đưa ra thì mọi người remove nha ( tại mình ko có thời gian đọc cụ thể những gì các bạn gửi qua file).
Chúc mọi người vui vẻ.Grin
Sửa bởi kokichi vào lúc 11-06-2009 08:59
 
hoadai
 @vua: Tính chất này anh không biết. Em có thể nói lại định nghĩa của spectrum g là gì ko? Với lại không biết spectrum đóng vai trò gì ở đây? (Problem 2 is just a simple execise in elementary analysis).

@kokichi: Cả định lý bạn nêu phía trên và Besicovitch covering theorem
http://en.wikiped...ng_theorem
đều không liên quan gì tới topic này. Bởi vì tôi thấy các Problem trong topic này là rất cơ bản (nhưng cần thiết để hiểu bài báo), nhưng mọi người không giải lại đi post mấy thông tin chả liên quan gì nên tôi mới nói vậy, bạn đừng buồn.
Sửa bởi hoadai vào lúc 11-06-2009 09:23
 
kokichi
 Ko cần khách sáo hoadai ( hi hi) .
Besicovitch Covering Theorem mà mình muốn đề cập đến thật thực có phảng phất construction của Besicovitch set đó là lý do mình đề cập trong bài viết của hoa dại (Trên cơ sở looking around the problem). Nhưng có lẽ hoadai muốn tập trung vào một hướng để mọi người có thể theo dõi.
Sorry for perturbing your direction ...Sad
Sửa bởi kokichi vào lúc 11-06-2009 13:28
 
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
phamquangtoan
» Sự trăn trở ...
phamquangtoan
» Vì sao học sin...
phamquangtoan
» Cần học hỏ...
Vnkvant
» "Làm toán" là ...
obay
» Bắt đầu nghi...
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tư _17...
Vnkvant
» Vai trò của to...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box và h...
Search MathBooks
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 400.000 đầu sách điện tử ngành Toán và các khoa học khác bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài liệu hoặc tạp chí chuyên ngành Toán với mục đích phi thương mại, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn vào đây


Facebook
Shoutbox
You must login to post a message.

18/08/2013 05:31
Diễn đàn mình nhiều bài hay và chất lượng quá. Em mong diễn đàn ta cứ tồn tại mãi để chúng em còn được tiếp cận với các tài liệu do các anh viết. Smile

16/08/2013 17:50
Nhưng các bài chất lượng thì vẫn còn đây!

25/07/2013 16:51
Sad diễn đàn ít có hoạt động nhỉ?

23/07/2013 07:06
Kvant, Vualangbat, Hoa dai, Nguyen Ngoc...

20/07/2013 08:20
Các Admin có những ai anh nhỉ ??

18/07/2013 20:26
e cứ đợi các admins tụ tập lại 1 lần thảo luận đã, giờ admins trốn hết rồi

11/07/2013 07:16
Bây giờ làm thế nào để diễn đàn được như trước nhỉ ??

02/06/2013 08:20
nhưng chưa có chiều sâu, vì các admin chủ lực đang bận bịu gì đó và ko có liên lạc lẫn nhau.

31/05/2013 07:00
Phải nói là trong số các diễn đàn toán thì em thấy diễn đàn ta là đẹp nhất. Wink

04/03/2013 14:16
thi Toán đơn giản mà. E cần dịch gì a dịch cho, qui đổi theo bài theo thời gian khoảng 2-3 tháng e đọc hiểu và đóan vô tư.

02/03/2013 19:10
Thuê thế nào anh ?? Grin

22/02/2013 13:11
Can thue nguoi ko a day cho) Khoang 3 thang la doc dich duoc

22/02/2013 06:47
Nhìn mà thèm học Tiếng Nga Smile

05/02/2013 20:05
Quet' nha chuan bi don tet

28/01/2013 06:08
Tuan Anh, sao kho' du vay la sao e?

Advertisement
Render time: 0.17 seconds 4,981,398 lượt ghé thăm