October 20 2013 13:09:33
Các trang chính
· Trang Nhất
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Diễn đàn
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· Thư viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds
MathWorld
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học từ MathWorld bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới

Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



Thư viện Sách
· Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, Volume 2)
· Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1)
· Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis, Volu
· Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis
· Problems in Calculus of One Variable
· Théorie des probabilités : problèmes et solutions
· Exercices sur les fonctions analytiques
· Probabilité : Exercices corrigés
· Exercices d'algèbre
· Abel's Theorem in Problems and Solutions
· Stochastic Process: Problems and Solutions
· Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions
· Statistics: Problems and Solutions
· Student Solutions Manual to accompany Complex Variables and Applications
· Complex Variables and Applications
· Problems in Group Theory
· Complex Analysis through Examples and Exercises
· Exercises in Classical Ring Theory
· Exercises in Basic Ring Theory
· Algebra Through Practice: Rings, Fields and Modules - A Collection of Problems in Algebra with Solut
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
· Đề ra kì này Số 05-2001
· Đề ra kì này Số 04-2001
· Đề ra kì này Số 2-2007
· Đề ra kì này Số 3-2001
· Đề ra kì này Số 2-2001
· Đề ra kì này Số 1-2001
· Đề ra kì này Số 2-2008
· Đề ra kì này Số 1-2008
· Đề ra kì này Số 1-2007
· Đề ra kì này Số 6-2000

Trực tuyến
phamquangtoan00:17:35
quangphu02:27:05
tnkh20:44:37
vulalach23:42:11
hungkg 2 days
namnh211 2 days
conanhero 2 days
vietmath 3 days
adam2 3 days
henry0905 4 days
kmath93 5 days
thuanquai 6 days
Vnkvant 6 days
daogiauvang 1 week
dinhcu_pro 1 week
0917317099 2 weeks
lovemath213 2 weeks
nguyentatthu 2 weeks
pminhquy 3 weeks
kimlinh 3 weeks
nguoithanbi123 3 weeks
hunghd8 3 weeks
nhatquangsin 5 weeks
pvthuan 5 weeks
ninza loan thi 5 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 1

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,510
· Thành viên mới nhất: headache
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Chứng minh BĐT
· Nhờ download bài ...
· Tìm số nguyên d�...
· VMO 2004
· Đào tạo thi họ...
· Tìm số nguyên d�...
· Giải phương trì...
· Nhờ download bài ...
· Dịch sang TV bài ...
· Giải phương trình
· Một bổ đề qua...
· Tìm p,q
· Thử thách toán h...
· Một số định l...
· AMM Vol 02/ 1895
· USSR Mathematical Ol...
· Mathematical Olympia...
· Australian Mathemati...
· AMM Vol 01/ 1894
· Bí quyết làm ch�...
· Bí quyết để c�...
· Kinh nghiệm du h�...
· Chứng minh tồn t...
· Chứng minh tài ch...
· Đề thi IMO 2013
· Giải phương trì...
· Tìm nghiệm nguyê...
· Số 4-2000
· Một quỹ hỗ tr�...
· Đề số 03-2008
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download b�... [333]
· Nhờ download b�... [141]
· Problem Of The Mo... [85]
· Vài bài tập c... [85]
· Những định l... [80]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tuyển... [47]
· Thông tin và Th... [40]
· Tính giới hạn [38]
· Các bạn thi ol... [38]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Problem of Washin... [37]
· Problems of Purdu... [37]
· Olympic Sinh viê... [35]
· Ôn tập môn Gi... [34]
· PT vi phân [32]
· Thử thách toá... [31]
· Olympic SV Kiev [31]
· Ôn tập môn Đ... [31]
· Đóng góp cho c... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Mùa hè nóng qu... [28]
· Cập nhật Tạ... [28]
· Tuyển tập 40 ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Số Pi và nhữ... [26]
· Đăng ký tham g... [26]
· Bất đẳng thức [25]
· Phương pháp Mo... [25]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· College Mathemati... [24]
· Tìm nghiệm c�... [24]
· Một câu xác s... [24]
· Collected inequal... [23]
· Tích phân hay [23]
· Chuyển công th... [22]
· Kì Thi Olympic T... [22]
· Bài tập về k... [22]
· Mathematics Magazine [21]
· Olimpiad Toán Đ... [21]
· Phương trình h... [21]
· Phương trình h... [20]
· Tặng daogiauvan... [19]
· Tài khoản MAA ... [19]
· Phép biến đ�... [19]
· Journal Мате�... [19]
· Olympic Sinh viê... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
· Chú ý: THÁNG H... [19]
Xem chủ đề
 In chủ đề
Phương trình hàm trên đường tròn đơn vị
hoadai
 Ký hiệu S^1=\{z\in \mathbb{C}: |z|=1\} là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức. Chứng minh rằng nêu hàm số f: \mathbb{R}\to S^1 liên tục và thỏa mãn
f(x+y)=f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}
thì tồn tại số thực a sao cho f(x)=e^{iax} với mọi x thuộc \mathbb{R}.

---
PS: Hôm trước gặp bài này khi làm một bài khác (bài tập về nhà), mà giải cả ngày ko được Grin. Kết quả bài này có vẻ rất quen thuộc, nhưng google không ra kết quả gì cả Sad
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 23-09-2010 10:21
 
hoadai
 Bài này thực ra sơ cấp thôi, nhưng vì có số phức nên post ở đây. Một biến dạng quen thuộc của nó là thay f:\mathbb{R}\to S^1 bởi f:\mathbb{R}\to (0,\infty). Lúc này bằng cách đặt g(x)=ln(f(x)) ta được phương trình hàm Cauchy
g(x+y)=g(x)+g(y).
Vậy g(x)=ax và do đó f(x)=e^{ax} với mọi x\in \mathbb{R}.

Tuy nhiên khi f:\mathbb{R}\to S^1 thì ln(f(x)) không có nghĩa (và do đó có cái để suy nghĩ Grin)
 
hqt
 không biết đúng hay sai nhưng theo cách chứng minh của em, thì một hàm nhân tính, nó phải thỏa: f:R^+->R^+ và liên tục thì mới có thể kết luận f(x)=e^{ax} hoadai có thể post chứng minh của mình về trường hợp f:R->R^+ được không
Sửa bởi hqt vào lúc 26-05-2009 14:29
 
hoadai
 Ah, ở đây tất nhiên f phải liên tục (vì bài post thứ 2 là tiếp theo bài post trước). Còn hai trường hợp f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ hay f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ thì chứng minh như nhau. hqt xem lại thử vì sao cách làm cho trường hợp đầu mà không áp dụng được cho trường hợp sau (điều này hơi lạ, Smile)

Thế này nhé: Giả sử ta có kết quả của hqt rằng khi f_1 liên tục \mathbb{R+}\to \mathbb{R^+} thì f_1(x)=e^{ax}. Lúc đó áp dụng kết quả này với f_1(x)=f(x) trên x\in \mathbb{R}^+ suy ra f(x)=e^{ax} với mọi x\in \mathbb{R}^+. Sau đó dùng f(0)=1f(-x)=1/f(x) suy ra f(x)=e^{ax} với mọi x\in \mathbb{R}.

Dù sao, tôi ghi dưới đây một chứng minh đầy đủ cho trường hợp f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+. Chứng minh này thì well-known nhưng có thể có ích cho những ai chưa biết PTH Cauchy.

Như đã nói ở trên, đặt g(x)=ln(f(x)) thì
g(x+y)=g(x)+g(y), \forall x,y\in \mathbb{R}.
Bằng quy nạp dễ dàng suy ra
g(nx)=ng(x), \forall x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}.
Vậy với mọi m, n\in \mathbb{N} ta có
g(\frac{m}{n})=mg(\frac{1}{n})=\frac{m}{n}. (ng(\frac{1}{n}))=\frac{m}{n}g(1).
Vậy g(q)=aq, với mọi q\in Q^+, trong đó a=g(1). Do tính liên tục nên g(x)=ax với mọi x\in \mathbb{R}^+. Mặt khác từ phương trình hàm Cauchy cho x=y=0 ta có g(0)=0, sau đó cho y=-x ta suy ra g là hàm lẻ. Vậy g(x)=ax với mọi x\in \mathbb{R}.

Cuối cùng: f(x)=e^{gx}=e^{ax} với mọi x\in \mathbb{R}.
 
hqt
 hì hì xin lỗi, em nhầm, cái hàm anh đưa đâu phải là hàm nhân tính nhỉ. hàm nhân tính có dạng:f(xy)=f(x)*f(y)
 
Vnkvant
 Bài của bạn hqt nêu cũng được giải trọn vẹn:

- f: \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R} : kết quả chắc cũng như bạn tính là f(x)=x^{\alpha} hoặc f\equiv 0, \alpha\in\mathbb{R}.

- f: \mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}: chú ý rằng f(-1)=\pm 1, trường hợp này f(x)=|x|^{\alpha} hoặc f(x)=x|x|^{\alpha-1} hoặc f\equiv 0, \alpha\in \mathbb{R}.

- f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}: thì f(x)=|x|^{\alpha} hoặc f(x)=x|x|^{\alpha-1}, hoặc f\equiv 0 nhưng đòi hỏi \alpha\ge 0 do tính liên tục
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 27-05-2009 07:05
 
http://tuanminh1988.wordpress.com
hoadai

Vnkvant viết rằng:
- f: \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R} : kết quả chắc cũng như bạn tính là f(x)=x^{\alpha} hoặc f\equiv 0, \alpha\in\mathbb{R}.

Nếu có thời gian thì Vnkvant trình bày trường hợp này thử, vì có thể nó sẽ có ích cho bài toán ban đầu (ở đây mình cũng không lấy ln được).
 
Vnkvant

Nếu có thời gian thì Vnkvant trình bày trường hợp này thử, vì có thể nó sẽ có ích cho bài toán ban đầu (ở đây mình cũng không lấy ln được


Trường hợp f\equiv C thì ta thấy rằng C=0, C=1

Trường hợp khác hằng:

Nếu tồn tại x_0\in \mathbb{R}^{+} để f(x_0)=0 thì f(x)=f(x/x_0)f(x_0)=0 với mọi x.

Như vậy f(x)=(f(\sqrt{x}))^2>0.

Có lẽ ngang đây lấy loga được!
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 27-05-2009 13:23
 
http://tuanminh1988.wordpress.com
hqt
 nhân tiện đây em cũng xin tóm tắt lại những điều chứng minh ở trên:
cho hàm f R->Rliên tục nếu ta có:
i) f cộng tính: f(x+y)=f(x)+f(y) thì f(x)=ax hoặc f(x)=0
ii)f nhân tính: f(x*y)=f(x)*f(y) thì f(x)=0 f(x)=1hoặcf(x)=|x|^\alpha hoặc f(x)=x*|x|^{\alpha-1}
Sửa bởi hqt vào lúc 27-05-2009 13:56
 
hoadai

Vnkvant viết rằng:
Nếu có thời gian thì Vnkvant trình bày trường hợp này thử, vì có thể nó sẽ có ích cho bài toán ban đầu (ở đây mình cũng không lấy ln được


Trường hợp f\equiv C thì ta thấy rằng C=0, C=1

Trường hợp khác hằng:

Nếu tồn tại x_0\in \mathbb{R}^{+} để f(x_0)=0 thì f(x)=f(x/x_0)f(x_0)=0 với mọi x.

Như vậy f(x)=(f(\sqrt{x}))^2>0.

Có lẽ ngang đây lấy loga được!

Uh, thật ra là f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R} thì hoặc f\equiv 0, hoặc f:\mathbb{R^+}\to \mathbb{R}^+. Chứng minh thì như ý của Vnkvant, tuy nhiên Vnkvant có 1 chút nhầm lẫn vì ở đây là
f(x+y)=f(x)f(y)

chứ không phải
f(xy)=f(x)f(y)


Cụ thể hơn: Ta thấy f(x)=f(x/2)^2\ge 0 với mọi x. Mặt khác, nếu tại x_0 để f(x_0)=0 thì từ 2 nhận xét
1) f(y)=f(x_0)f(y-x_0)=0 với mọi y\ge x_0,
2) f(x_0/2)=\sqrt{f(x_0)}=0; và tương tự f(x_0.2^{-n})=0 với mọi n=1,2,...
suy ra f(x)=0 với mọi x\in \mathbb{R}^+.
Trường hợp còn lại thì f(x)>0 với mọi x.

----
Tôi xin nói thêm về motivation của bài toán ban đầu. Điều kiện
f(x+y)=f(x)f(y)

có lẽ quen thuộc với bạn nào đã học về lý thuyết nửa nhóm, và điều kiện |f(t)|=1 liên quan đến unitary.

Cụ thể hơn, xét H là 1 Hilbert space, U(H) là nhóm các toán tử unitary trên H, tức là các song ánh, tuyến tính L:H\to H sao cho (Lx,Ly)=(x,y). Một ánh xạ F:\mathbb{R}\to U(H) gọi là 1 strongly continuous group of unitaries nếu
1) F(x+y)=F(x)F(y), với mọi x,y\in \mathbb{R}.
2) \lim_{y\to x} F(y)u=F(x) u với mọi x\in \mathbb{R}, u\in U(H).

Ví dụ đơn giản là H=\mathbb{C} thì dễ thấy U(H)=S^1. Vậy bài toán ban đầu khẳng định rằng một strongly continuous group of unitaries trên H=\mathbb{C} chỉ có thể có dạng f(t)z=e^{iat}z với mọi t\in \mathbb{R}, z\in \mathbb{C}.
 
Vnkvant
 Hi vọng là anh hoadai có thể trình bày thêm nhiều tính chất về strongly continuous group of unitaries.

Một bài toán thú vị về phương trình hàm ma trận:

Xác định tất cả các ánh xạ f: M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R} thỏa mãn f(A)f(B)=f(AB) với \det (AB)\neq 0


Có lẽ mai em trình bày tiếp!
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 27-05-2009 15:45
 
http://tuanminh1988.wordpress.com
umf
 Có một bài phưởng trình hàm khá hay nhờ anh hoadai và Vnkvant
Giải phương trình hàm \omega (x,t) = a^k \omega (a^m x,a^n t)
Trong đó k,m,n là các hằng số đã cho và a>0
Sửa bởi umf vào lúc 30-05-2009 00:26
 
hoadai
 ok! Nhưng nên có ai đó giải bài toán ban đầu trước rồi mình thảo luận tiếp!

Hôm nay bỗng nhớ 1 câu chuyện đọc lúc nhỏ. Chuyện nói rằng có 1 nhà toán học (tôi không nhớ tên) nói rằng mặc dù số lượng các bài toán chưa giải được luôn tăng nhưng rồi mọi bài toán đều sẽ được giải (ông đánh số các bài toán cần giải là 1,2,3, ... và giải sử rằng, trong năm thứ N, sẽ giải được bài toán thứ N) Smile
 
Vnkvant
 Bài của anh hoadai:

f nhận giá trị trên unit circle nên có thể đặt

f(x)=e^{i u(x)}

u(x) ứng với argument của f(x)

u: \mathbb{R}\to \mathbb{R} liên tục

Như vậy u(x+y)=u(x)+u(y).
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 08-06-2009 11:18
 
http://tuanminh1988.wordpress.com
Vnkvant
 Bài của umf có thể dùng giới hạn (bài toán chắc là có giả thiết liên tục), nhưng nhiều trường hợp phải xét, có nên chăng hạn chế vài trường hợp đặc biệt.
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 08-06-2009 10:49
 
http://tuanminh1988.wordpress.com
hoadai

Vnkvant viết rằng:
Bài của anh hoadai:

f nhận giá trị trên unit circle nên có thể đặt

f(x)=e^{i u(x)}

u(x) ứng với argument của f(x)

u: \mathbb{R}\to \mathbb{R} liên tục

Như vậy u(x+y)=u(x)+u(y).


Với mỗi x thì f(x) thuộc S^1 nên tồn tại u(x)\in R sao cho f(x)=e^{i u(x)}. Tuy nhiên làm thế nào để khẳng định u(x) liên tục? và làm thế nào để khẳng định u(x+y)=u(x)+u(y)? Vnkvant có thể giải thích được không?

Ghi chú: để ý rằng với mỗi x thì u(x) có nhiều cách chọn (hơn kém nhau 2\pi).
 
Calderon

hoadai viết rằng:
Ký hiệu S^1=\{z\in \mathbb{C}: |z|=1\} là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức. Chứng minh rằng nêu hàm số f: \mathbb{R}\to S^1 liên tục và thỏa mãn
f(x+y)=f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}
thì tồn tại số thực a sao cho f(x)=e^{iax} với mọi x thuộc \mathbb{R}.

(


Bạn hoadai có thể làm như sau: viết f(x)=u(x)+iv(x) từ đó đưa về hệ phương trình hàm liên tục với u, v. Đầu tiên chỉ ra u là hàm chẵn, vlà lẻ. Sau đó suy ra kiểu pth mà: u(x+y)+u(x-y)=2u(x)u(y) từ đây lí luận kiểu pth cauchy tức là từ Z đến Q rồi đến R, với chú ý u khác không, bị chặn.

Cách đặt của bạn Vnkvant không ổn vì u là hàm đa trị.
 
hoadai
 Good idea! Bằng cách này ta có thể chuyển bài toán về hàm thực. Calderon có thể giải cụ thể phương trình với u được ko, vì thật ra việc giải bài toán với u không dễ hơn việc giải bài toán ban đầu. Trong đó khó khăn chính là ở việc đi từ x->x/n (trong khi đi từ x->nx thì đơn giản).
 
Calderon
 Đáng ra mình không làm nhưng do gợi ý nhầm nên mình sẽ xin điểm qua vài nét chính của lời giải:

0) Đổi u thành f nhé!

Nhận xét: Tập \{\frac{m}{2^n}: m\in\mathbb Z, n\in\mathbb Z_+\} trù mật trên \mathbb R. Cái này cũng dễ hiểu nếu nhìn nhận nó như sự trù mật của các số hữu tỷ dyadic.

1) Tồn tại 0<x_1<1 sao cho f(x_1)>0. (cái này chú ý tí là f(0)=1).

Đặt \cos\alpha =f(x_1) với 0<\alpha<\frac{\pi}2. Quy nạp lên: f(nx_1)=\cos n\alpha mọi n nguyên (do hàm chẵn nên chỉ quan tâm n dương là đủ).
Sau đó f\left(\frac{x_1}{2^n}\right)=\cos\frac{\alpha}{2^n}

2) Từ ấy suy ra f\left(\frac{mx_1}{2^n}\right)=\cos\frac{m\alpha}{2^n} rồi dùng cái họ trù mật trên để suy ra f(x_1t)=\cos\alpha t do vậy f(x)=\cos\beta x.

Cách là này cho thấy bài của bạn hoadai có thể giả sử f:\mathbb R\to\mathbb C chứ không nhất thiết chạy vào \mathbb S, lúc ấy có thể ra các hàm hyperbolic.

Thế nhé~
Sửa bởi Calderon vào lúc 09-06-2009 13:13
 
Vnkvant
 Lời giải đầy đủ cho nghiệm liên tục f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} của pt hàm D'alembert

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
Vnkvant đính kèm tệp sao:
untitled1.pdf
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 09-06-2009 16:14
 
http://tuanminh1988.wordpress.com
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
phamquangtoan
» Sự trăn trở ...
phamquangtoan
» Vì sao học sin...
phamquangtoan
» Cần học hỏ...
Vnkvant
» "Làm toán" là ...
obay
» Bắt đầu nghi...
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tư _17...
Vnkvant
» Vai trò của to...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box và h...
Search MathBooks
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 400.000 đầu sách điện tử ngành Toán và các khoa học khác bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài liệu hoặc tạp chí chuyên ngành Toán với mục đích phi thương mại, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn vào đây


Facebook
Shoutbox
You must login to post a message.

18/08/2013 05:31
Diễn đàn mình nhiều bài hay và chất lượng quá. Em mong diễn đàn ta cứ tồn tại mãi để chúng em còn được tiếp cận với các tài liệu do các anh viết. Smile

16/08/2013 17:50
Nhưng các bài chất lượng thì vẫn còn đây!

25/07/2013 16:51
Sad diễn đàn ít có hoạt động nhỉ?

23/07/2013 07:06
Kvant, Vualangbat, Hoa dai, Nguyen Ngoc...

20/07/2013 08:20
Các Admin có những ai anh nhỉ ??

18/07/2013 20:26
e cứ đợi các admins tụ tập lại 1 lần thảo luận đã, giờ admins trốn hết rồi

11/07/2013 07:16
Bây giờ làm thế nào để diễn đàn được như trước nhỉ ??

02/06/2013 08:20
nhưng chưa có chiều sâu, vì các admin chủ lực đang bận bịu gì đó và ko có liên lạc lẫn nhau.

31/05/2013 07:00
Phải nói là trong số các diễn đàn toán thì em thấy diễn đàn ta là đẹp nhất. Wink

04/03/2013 14:16
thi Toán đơn giản mà. E cần dịch gì a dịch cho, qui đổi theo bài theo thời gian khoảng 2-3 tháng e đọc hiểu và đóan vô tư.

02/03/2013 19:10
Thuê thế nào anh ?? Grin

22/02/2013 13:11
Can thue nguoi ko a day cho) Khoang 3 thang la doc dich duoc

22/02/2013 06:47
Nhìn mà thèm học Tiếng Nga Smile

05/02/2013 20:05
Quet' nha chuan bi don tet

28/01/2013 06:08
Tuan Anh, sao kho' du vay la sao e?

Advertisement
Render time: 0.11 seconds 4,981,398 lượt ghé thăm